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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 66

66-

Esboce f x = t g - 1 x e suas duas primeiras derivadas em um único gráfico. Comente o comportamento de f e a forma do gráfico em relação aos sinais e aos valores de f ' e f ' ' .

Passo 1

Vamos fazer a derivada de f ( x ) :

f = t g - 1 x

t g   f = x

Fazendo a derivada em x:

sec 2 ⁡ f × d f d x = 1

d f d x = 1 sec 2 ⁡ f

Da relação fundamental:

cos 2 ⁡ f + sin 2 ⁡ f = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ f

1 + t g 2 f = sec 2 ⁡ f

Como t g   f = x

sec 2 ⁡ f = x 2 + 1

d f d x = x ' = 1 x 2 + 1

Passo 2

Fazendo a segunda derivada:

f ' ' = 1 ' x 2 + 1 - 1 ( x 2 + 1 ) ' x 2 + 1 2 = - 2 x x 2 + 1 2

Resposta

A função tem o domínio indo de - ∞ < x < ∞ e a função cresce mais rápido perde da origem que é quando a função f ' tem seu máximo absoluto. A função tem concavidade para cima com x negativo que é quando f ' ' é positivo e tem concavidade para baixo quando x é positivo que é quando f ' ' é negativo. A função tem um ponto de inflexão com x = 0 que é quando f ' tem uma valor de máximo absoluto.

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Determine o limite: lim x → 1 - ⁡ cos - 1 ⁡ x
Determine o limite: lim x → - ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ x
Determine o limite: lim x → 1 - ⁡ s in - 1 ⁡ x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ x
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ sec - 1 ⁡ x