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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 32

Ache f ' 1 :

y = cos ⁡ ln ⁡ x 2

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo.

Aqui queremos calcular a derivada da seguinte função

y = cos ⁡ ln ⁡ x 2

E então aplicar o ponto x = 1 na derivada.

A nossa função é uma composição de três funções.

Sendo elas:

f x = cos ⁡ x

g x = ln ⁡ x

h x = x 2

Para resolver isso aí, vamos usar a regra da cadeia que diz que:

f g h x ' = d f g h x d g h x ⋅ d g h x d h x ⋅ d h x d x

Basicamente, a gente vai derivando de fora para dentro. Se liga só:

Passo 2

y ' = d cos ⁡ ln ⁡ x 2 d l n x 2 ⋅ d l n x 2 d x 2 ⋅ d x 2 d x

A derivada do cosseno é o seno.

y ' = s e n ln ⁡ x 2 ⋅ d l n x 2 d x 2 ⋅ d x 2 d x

A derivada do logaritmo é 1 / x , portanto.

y ' = s e n ln ⁡ x 2 ⋅ 1 x 2 ⋅ d x 2 d x

E a derivada de x 2 é 2 x .

y ' = s e n ln ⁡ x 2 ⋅ 1 x 2 ⋅ 2 x

Simplificando:

y ' = f ' x = s e n ln ⁡ x 2 2 x

Passo 3

Substituindo o ponto x = 1 :

f ' 1 = - s e n ln ⁡ 1 × 2 =

= - s e n 0 × 2

= - 0 × 2

= 0

Resposta

f ' 1 = 0

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