Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

33) f(y) = (3 * sen^2(y)) / (cos^2(y) + 1)

Passo 1

Vamos aplicar primeiro a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Então nossa função vai ficar:

f ' y = d d y 3 s e n 2 y ( c o s 2 2 y + 1 ) - 3 s e n 2 y d d y ( c o s 2 2 y + 1 ) ( c o s 2 2 y + 1 ) 2

Passo 2

Agora calculamos as derivadas que sobraram separadamente:

d d y 3 s e n 2 y

Usaremos a Regra da Cadeia. Primeiro a gente resolve a função seno

d d t 3 s e n t = 3 c o s t

Agora substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada do que está dentro:

3 c o s 2 y d d y ( 2 y )

Resolvendo essa última derivada e o produto:

6 c o s 2 y

Passo 3

Falta resolver a outra derivada que saiu do Passo 1:

d d y ( c o s 2 2 y + 1 )

Como derivada da constante é 0, vamos resolver somente o primeiro termo. Precisamos usar a Regra da Cadeia duas vezes, uma vez para a potência de fora

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

2 ( c o s 2 y ) d d y ( c o s 2 y )

E agora usamos a Regra de novo para essa última derivada, então fica:

d d y c o s 2 y = - s e n 2 y d d y 2 y = - 2 s e n 2 y

Fazendo o produto:

2 c o s 2 y   .   - 2 s e n 2 y = - 4 s e n 2 y c o s 2 y

Passo 4

Agora basta juntar tudo na Regra do Quociente que fizemos lá no Passo 1:

f ' y = 6 c o s 2 y ( c o s 2 2 y + 1 ) - 3 s e n 2 y   .   ( - 4 s e n 2 y c o s 2 y ) ( c o s 2 2 y + 1 ) 2

Simplificando:

f ' y = 6 c o s 2 y ( 2 s e n 2 2 y + c o s 2 2 y + 1 ) ( c o s 2 y + 1 ) 2

Resposta

f ' y = 6 c o s 2 y ( 2 s e n 2 2 y + c o s 2 2 y + 1 ) ( c o s 2 y + 1 ) 2

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