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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 25

Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

25) f x = 2 x - 1 3 x 2 + x - 2 3

Passo 1

Para resolver essa derivada, precisamos primeiro aplicar a Regra da Cadeia por causa da potência, primeiro calculamos a derivada dela:

d ( t 3 ) d t = 3 t 2

E então substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

3 2 x - 1 3 x 2 + x - 2 2   d d x 2 x - 1 3 x 2 + x - 2

Passo 2

Certo, agora precisamos resolver a derivada da última conta,

d d x 2 x - 1 3 x 2 + x - 2

vamos usar a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Nossa derivada então fica:

d d x 2 x - 1 3 x 2 + x - 2 = 2 .   3 x 2 + x - 2 - 2 x - 1 . ( 6 x + 1 ) ( 3 x 2 + x - 2 ) 2 = - 3 ( 2 x 2 - 2 x + 1 ) ( 3 x 2 + x - 2 ) 2

Passo 3

Pronto, só fazer o produto que estava faltando no Passo 1:

3 2 x - 1 3 x 2 + x - 2 2   . - 3 2 x 2 - 2 x + 1 3 x 2 + x - 2 2 = - 9 2 x - 1 2 ( 2 x 2 - 2 x + 1 ) ( 3 x 2 + x - 2 ) 4

f ' x = - 9 2 x - 1 2 ( 2 x 2 - 2 x + 1 ) ( 3 x 2 + x - 2 ) 4

Resposta

f ' x = - 9 2 x - 1 2 ( 2 x 2 - 2 x + 1 ) ( 3 x 2 + x - 2 ) 4

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