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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 26

Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

26) F x = ( x 2 + 3 ) 3 ( 5 x - 8 ) 2

Passo 1

Vamos aplicar primeiro a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Então nossa função vai ficar:

F ' x = d d x ( x 2 + 3 ) 3 ( 5 x - 8 ) 2 - ( x 2 + 3 ) 3 d d x ( 5 x - 8 ) 2 ( 5 x - 8 ) 4

Passo 2

Agora calculamos as derivadas que sobraram separadamente:

d d x ( x 2 + 3 ) 3

Usaremos a Regra da Cadeia. Primeiro a gente resolve a potência de fora:

d d t t 3 = 3 t 2

Agora substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada do que está dentro:

3 ( x 2 + 3 ) 2 d d x ( x 2 + 3 )

Resolvendo essa última derivada e o produto:

6 x ( x 2 + 3 ) 2

Passo 3

Falta resolver a outra derivada que saiu do Passo 1:

d d x ( 5 x - 8 ) 2

Usamos a Regra da Cadeia mais uma vez. Primeiro a potência de fora:

d d t t 2 = 2 t

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

2 ( 5 x - 8 ) d d x ( 5 x - 8 )

Resolvendo essa última derivada com o produto:

10 ( 5 x - 8 )

Passo 4

Agora basta juntar tudo na Regra do Quociente que fizemos lá no Passo 1:

F ' x = 6 x ( x 2 + 3 ) 2 ( 5 x - 8 ) 2 - x 2 + 3 3 .   10 ( 5 x - 8 ) ( 5 x - 8 ) 4

Simplificando:

F ' x = 2 x 2 + 3 2 ( 10 x 2 - 24 x - 15 ) ( 5 x - 8 ) 3

Resposta

F ' x = 2 x 2 + 3 2 ( 10 x 2 - 24 x - 15 ) ( 5 x - 8 ) 3

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59. Use a tabela para estimar o valor de h ' 0,5 , onde h x = f g x .
60. Se g x = f f x , use a tabela para estimar o valor de g ' 1 .
41 – 50 Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.50. y = arctg ⁡ cos ⁡ θ