Um estudante pergunta: “Suponha que uma derivação implícita num ponto forneça uma expressão indefinida. Isso significa que não está definida nesse ponto?” Usando a equação como base de discussão, escreva um parágrafo respondendo à pergunta do estudante.

Derivando a equação dos dois lados:

Como é função de , temos que em há um produto de funções de e em há uma função composta. Vamos ter que usar a regra da cadeia e a do produto então:

Isolando :

A derivada deu e não uma função de e .

Como isso aconteceu, esse aluno do enunciado ficaria com a dúvida de saber se a derivada dessa função está definida para todos os valores de .

Agora chegou o nosso momento de responder a ele: se a derivada implícita resulta em uma constante, significa que esse é o valor da derivada dessa função definida implicitamente, para todos os valores de , e não que ela não está definida para algum ponto.

A derivada do nosso exemplo está definida para todos os valores de e vale . Repara que podemos escrever:

Isso quer dizer que aquela equação define implicitamente a função que tem como derivada para todos os valores de . Isso confirma o que a gente disse para o aluno.

Arrasamos!