Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 46
Um estudante pergunta: “Suponha que uma derivação implícita num ponto forneça uma expressão indefinida. Isso significa que não está definida nesse ponto?” Usando a equação como base de discussão, escreva um parágrafo respondendo à pergunta do estudante.
Passo 1
A gente precisa responder essa pergunta do estudante.
O enunciado manda a gente partir da equação:
Então a gente pode derivar ela, e ver o que a gente aprende nessa derivada implícita, para responder esse aluno aí, belezinha?
Passo 2
Derivando a equação dos dois lados:
Como é função de , temos que em há um produto de funções de e em há uma função composta. Vamos ter que usar a regra da cadeia e a do produto então:
Isolando :
Passo 3
A derivada deu e não uma função de e .
Como isso aconteceu, esse aluno do enunciado ficaria com a dúvida de saber se a derivada dessa função está definida para todos os valores de .
Agora chegou o nosso momento de responder a ele: se a derivada implícita resulta em uma constante, significa que esse é o valor da derivada dessa função definida implicitamente, para todos os valores de , e não que ela não está definida para algum ponto.
A derivada do nosso exemplo está definida para todos os valores de e vale . Repara que podemos escrever:
Isso quer dizer que aquela equação define implicitamente a função que tem como derivada para todos os valores de . Isso confirma o que a gente disse para o aluno.
Arrasamos!
Resposta
Discussão nos passos