Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 44
Encontre as equações de duas retas pela origem que são tangentes à elipse de equação .
Passo 1
Precisamos encontrar a equação de duas retas que passam pela origem. As retas que passam pela origem tem a forma:
Rearrumando essa equação:
Então a gente pode dizer que todas as retas que passam pela origem tem o coeficiente angular nessa forma.
Mas essas retas precisam ser tangentes à nossa elipse. E o coeficiente angular das retas tangentes é:
Precisamos que o coeficiente angular das retas seja igual a e , assim:
Assim, precisamos achar os pontos que pertencem a elipse e satisfazem essa igualdade aí de cima. Depois é só achar as retas tangentes à elipse nesses pontos.
Vamos continuar!
Passo 2
Vamos achar para a elipse, por derivação implícita.
Derivando dos dois lados:
É legal a gente reparar que é uma função de , então é uma função composta. Logo, a gente vai usar regra da cadeia aí:
Isolando :
Passo 3
A gente disse que nossos pontos tem que satisfazer:
E a equação da elipse:
Temos então um sisteminha para resolver. Jogando o da primeira equação na segunda:
Agora a gente descobre o valor de pela equação da elipse, ou pela equação que a gente achou igualando os valores de . Vamos usar a segunda, porque nela é mais tranquilo de achar :
Então nossos dois pontos são:
Passo 4
Agora é só montar as equações que passam pela origem e passam por esses pontos. Dissemos que:
Para a reta que passa pelo ponto :
A reta fica:
Para a reta que passa pelo ponto :
Conseguimos!