(a) Use o recurso de traçar gráficos implícitos de um CAS para esboçar o gráfico da curva cuja equação é .

(b) Use o gráfico de (a) para dar um palpite sobre a coordenada de um ponto do primeiro quadrante que está em e no qual a reta tangente a é paralela à reta.

(c) Use derivação implícita para verificar a conjectura em (b).

(b) Escolher um ponto onde a reta tangente é paralela à reta é o mesmo que escolher um ponto onde o gráfico da nossa função está a aproximadamente a no sentido horário.

A gente pode escolher esse ponto aqui:

Onde:

Nossa estimativa é:

(c) Para verificar a nossa consejctura temos que ver se no ponto o coeficiente angular da nossa reta tangente é igual ao coeficiente de , que é . Isso demonstra que nesse ponto, elas são paralelas.

Já que:

Vamos ter que derivar a nossa equação implicitamente.

Vamos lá!

Derivando nossa equação dos dois lados:

Como é uma função de , em temos um produto de funções e em temos uma função composta, por isso a gente precisa usar a regra do produto e a regra da cadeia:

Agora isolamos para achar :

Vamos substituir o ponto para verificar se o nosso chute foi bom:

Deu igual ao coeficiente angular de , então nossa conjectura estava certinha. 😊