Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 24
Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Este tipo de integral precisa de uma manipulação na expressão que está dentro da raiz. Precisaremos completar o quadrado para depois usar uma substituição.
Vamos lá, precisamos somar algo para eliminar o termo de grau 1, da seguinte forma:
Agora eu vou somar dentro do parenteses e fora, para não alterar a expressão, perceba que quando eu coloco o dentro do parenteses é como se eu somasse na expressão.
Para que esse parenteses vire , eu preciso que o meu , seja igual ao coeficiente do , dividido por 2, ou seja, . Sendo assim:
Fechou então, vamos trocar a expressão da integral e ir para próxima etapa.
Passo 2
Agora vamos deixar essa integral com cara de uma integral conhecida.
Primeiro eu vou deixar o , em evidência:
Ufa! Vamos substituir essa expressão na integral agora:
Pronto, pessoal. Conseguem perceber que integral é essa? Elá já tá quase com cara de integral imediata, vamos continuar.
Passo 3
Vamos efetuar uma substituição na integral para ficar apenas , dentro da raiz.
Faremos então e derivando, temos .
Para ficar melhor, vamos deixar o sozinho para trocar a variável da integral.
Sendo assim, .
Passo 4
Trocando a variável da integral, ficamos com:
Opa! Essa integral é imediata.
Passo 5
Resolvendo a integral, ficamos com o seguinte:
Pois .
Passo 6
Agora nós voltamos na variável inicial .
Sendo , temos
Não se esqueça da constante, hein.
Essa integral parece bem complicada, né? Mas não é! O que deu um pouco de trabalho foi manipular a expressão, completar quadrados e tals, a integral, como vocês viram, era imediata.