Use a fórmula do exercício 43 para mostrar que
Passo 1
No exercício 43 chegamos na seguinte expressão para a derivada da inversa:
Agora a questão pede para você usar essa expressão para achar a segunda derivada. Ora bolas, para achar a segunda derivada basta derivar a primeira derivada, não é? Então vamos fazer isso!
Podemos escrever:
Derivando pela regra da cadeia:
Passo 2
Por outro lado, sabemos que
Note que você sabe uma fórmula para , é a expressão do exercício 43:
Portanto,
Assim,
Resposta
Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Calcule.c) a r c s e n (sqrt(3))/(2)
Calcule.e) a r c t g (- 1)
Seja f uma função inversível com inversa g . Mostre quea) f g x = x para todo x ∈ D g b) g f x = x para todo x ∈ D f
Seja f x = x + e x e seja g sua inversa.a) Prove que o domínio e a imagem de g são intervalos.b) Prove que g é estritamente crescente.c) Prove que g é contínua. (Sugestão: Utilize o Exercício 12.)
Calculeg) a r c s e n (s e n (2 pi)/(3)) (Cuidado!)