Ache a derivada da função G(w) = tan^(-1)((w - 3) / (3w + 1)) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma trigonométrica com um quociente de polinômios em que w - 3 3 w + 1 está dentro de t a n - 1 . Daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a fórmula

f x g x ' = f ' ( x ) g x - f x g ' x g x 2

e conhecer a derivada

( tan - 1 ⁡ x ) ' = 1 1 + x 2

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( tan - 1 ⁡ u ) ' = u ' 1 + u 2

Passo 2

No nosso exemplo, G w = tan - 1 ⁡ w - 3 3 w + 1 ⏟ u , logo u = w - 3 3 w + 1 e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

G ' w = tan - 1 ⁡ w - 3 3 w + 1 '   = w - 3 3 w + 1 ' 1 + w - 3 3 w + 1 2 = w - 3 3 w + 1 ' 1 + w - 3 2 3 w + 1 2 = w - 3 3 w + 1 ' 3 w + 1 2 + w - 3 2 3 w + 1 2

G ' w = w - 3 3 w + 1 ' ( 9 w 2 + 6 w + 1 ) + ( w 2 - 6 w + 9 ) 3 w + 1 2 = w - 3 3 w + 1 ' 10 w 2 + 10 3 w + 1 2 = 3 w + 1 2 w - 3 3 w + 1 ' 10 w 2 + 10

G ' w = 3 w + 1 2 w - 3 3 w + 1 ' 10 w 2 + 10

Vamos deixar assim por enquanto.

Passo 3

Agora precisamos da derivada de w - 3 3 w + 1 . Vamos utilizar a fórmula apresentada no passo 1

w - 3 3 w + 1 ' = w - 3 ' 3 w + 1 - w - 3 3 w + 1 ' 3 w + 1 2 = 1 3 w + 1 - ( w - 3 ) ( 3 ) 3 w + 1 2

w - 3 3 w + 1 ' = 3 w + 1 - 3 w + 9 3 w + 1 2 = 10 3 w + 1 2

Aqui foram usadas as derivadas w - 3 ' = 1 e 3 w + 1 ' = 3 .

Passo 4

Substituindo a derivada w - 3 3 w + 1 '   = 10 3 w + 1 2 em G ' w = 3 w + 1 2 w - 3 3 w + 1 ' 10 w 2 + 10 , temos

G ' w = 3 w + 1 2 10 3 w + 1 2 10 w 2 + 10 = 10 10 w 2 + 10 = 1 w 2 + 1

O resultado ficou bem simplificado, né? Por isso no passo 3 eu não expandi o 3 w + 1 2 .

Resposta

G ' w = 1 w 2 + 1

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