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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 10

Ache a derivada da função G (w) = tan^(- 1) ((w - 3)/(3 w + 1)) .

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma trigonométrica com um quociente de polinômios em que (w - 3)/(3 w + 1) está dentro de t a n^(- 1) . Daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função trigonométrica (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a fórmula

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' ( x ) g (x) - f (x) g^' (x))/([g (x)]^2)

e conhecer a derivada

( tan^(- 1) x ) ' = (1)/(1 + x^2)

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( tan^(- 1) u ) ' = (u ')/(1 + u^2)

Passo 2

No nosso exemplo, G (w) = tan^(- 1) underset(u)(ubrace ((w - 3)/(3 w + 1))) , logo u = (w - 3)/(3 w + 1) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com

G ' (w) = [tan^(- 1) ((w - 3)/(3 w + 1))]^' = (((w - 3)/(3 w + 1))^')/(1 + ((w - 3)/(3 w + 1))^2) = (((w - 3)/(3 w + 1))^')/(1 + ((w - 3)^2)/((3 w + 1)^2)) = (((w - 3)/(3 w + 1))^')/(((3 w + 1)^2 + (w - 3)^2)/((3 w + 1)^2))

G ' (w) = (((w - 3)/(3 w + 1))^')/((( 9 w^2 + 6 w + 1 ) + ( w^2 - 6 w + 9 ))/((3 w + 1)^2)) = (((w - 3)/(3 w + 1))^')/((10 w^2 + 10)/((3 w + 1)^2)) = ((3 w + 1)^2 ((w - 3)/(3 w + 1))^')/(10 w^2 + 10)

G ' (w) = ((3 w + 1)^2 ((w - 3)/(3 w + 1))^')/(10 w^2 + 10)

Vamos deixar assim por enquanto.

Passo 3

Agora precisamos da derivada de ((w - 3)/(3 w + 1)) . Vamos utilizar a fórmula apresentada no passo 1

((w - 3)/(3 w + 1))^' = ((w - 3) ' (3 w + 1) - (w - 3) (3 w + 1) ')/((3 w + 1)^2) = (1 (3 w + 1) - ( w - 3 ) ( 3 ))/((3 w + 1)^2)

((w - 3)/(3 w + 1))^' = (3 w + 1 - 3 w + 9)/((3 w + 1)^2) = (10)/((3 w + 1)^2)

Aqui foram usadas as derivadas (w - 3) ' = 1 e (3 w + 1) ' = 3 .

Passo 4

Substituindo a derivada ((w - 3)/(3 w + 1))^' = (10)/((3 w + 1)^2) em G ' (w) = ((3 w + 1)^2 ((w - 3)/(3 w + 1))^')/(10 w^2 + 10) , temos

G ' (w) = ((3 w + 1)^2 (10)/((3 w + 1)^2))/(10 w^2 + 10) = (10)/(10 w^2 + 10) = (1)/(w^2 + 1)

O resultado ficou bem simplificado, né? Por isso no passo 3 eu não expandi o (3 w + 1)^2 .

Resposta

G ' (w) = (1)/(w^2 + 1)

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