Ache dy / dx por derivação implícita: cot^(-1)(x^2 / (3y)) + xy^2 = 0

Passo 1

Pessoal, o primeiro passo nesse tipo de questão é tomar a derivada de ambos os lados da seguinte forma:

d d x cot - 1 ⁡ x 2 3 y + x y 2 = d d x ( 0 )

Derivada de constante é 0 e a derivada da soma é a soma das derivadas:

d d x cot - 1 ⁡ x 2 3 y + d d x x y 2 = 0

A dica que eu dou aqui é trocar y por f ( x ) que aí você vai perceber o que pode derivar direto e o que não pode, no caso de ter f ( x ) , você não vai poder mexer, certo? Você não sabe que função é essa! Então ficaria o seguinte:

d d x cot - 1 ⁡ x 2 3 f ( x ) + d d x x [ f x ] 2 = 0

Passo 2

Agora eu vou derivar uma parcela de cada vez. Primeiro d d x cot - 1 ⁡ x 2 3 f ( x ) , precisamos saber que:

cot - 1 ⁡ u ' = - u ' u 2 + 1

No nosso caso, u = x 2 3 f ( x ) . Então vamos ficar com:

cot - 1 ⁡ x 2 3 f ( x ) ' = - x 2 3 f x ' x 2 3 f x 2 + 1

Precisamos da derivada de x 2 3 f ( x ) . E agora? O mais importante agora é percebemos que temos um quociente de funções, então vamos usar a regra do quociente para derivar!

h x g x ' = h ' ( x ) g x - h x g ' x g x 2

Perceba que h ( x ) = x 2 e g ( x ) = 3 f ( x ) . Utilizando a fórmula, ficamos com:

x 2 3 f x ' = x 2 ' 3 f x - x 2 3 f x ' 3 f x 2 = 2 x ⋅ 3 f x - 3 x 2 f ' ( x ) 9 f x 2 = 6 x f x - 3 x 2 f ' ( x ) 9 f x 2

Agora vamos substituir em cot - 1 ⁡ x 2 3 f ( x ) ' = - x 2 3 f x ' x 2 3 f x 2 + 1 , ficando com:

cot - 1 ⁡ x 2 3 f ( x ) ' = - 6 x f x - 3 x 2 f ' x 9 f x 2 x 2 3 f x 2 + 1 = - 6 x f x - 3 x 2 f ' x 9 f x 2 x 4 9 f x 2 + 1

= - 6 x f x - 3 x 2 f ' x 9 f x 2 x 4 9 f x 2 + 1 = - 6 x f x - 3 x 2 f ' x 9 f x 2 x 4 + 9 f x 2 9 f x 2 = - 6 x f x - 3 x 2 f ' x x 4 + 9 f x 2

d d x cot - 1 ⁡ x 2 3 f ( x ) = 3 x 2 f ' x - 6 x f x x 4 + 9 f x 2

Ok, paramos por aqui.

Passo 3

Agora eu vou pegar d d x x [ f x ] 2 , precisamos perceber que temos um produto de funções, então basta usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + h x g ' ( x ) .

Utilizando a fórmula, ficamos com:

x f ( x ) 2 ' = x ' [ f x ] 2 + x ( f x 2 ) '

x f ( x ) 2 ' = 1 [ f x ] 2 + x ( 2 f x 2 - 1 ⋅ f ' ( x ) )

Acima usamos o fato de que u n ' = n u n - 1 ⋅ u ' , para n = 2 e u = f ( x ) .

d d x x [ f x ] 2 = [ f x ] 2 + 2 x f ( x ) ⋅ f ' ( x )

Fechou aqui também.

Passo 4

Agora vamos substituir as derivadas do passo 2 e 3, em d d x cot - 1 ⁡ x 2 3 f ( x ) + d d x x [ f x ] 2 = 0 .

3 x 2 f ' x - 6 x f x x 4 + 9 f x 2 + [ f x ] 2 + 2 x f ( x ) ⋅ f ' ( x ) = 0

Só falta agora trocar f ( x ) por y de novo e onde está f ’ ( x ) eu vou colocar d y d x .

3 x 2 d y d x - 6 x y   x 4 + 9 y 2 + y 2 + 2 x y ⋅ d y d x = 0

Passo 5

O último passo é deixar d y d x isolado.

3 x 2 d y d x - 6 x y     x 4 + 9 y 2 + y 2 + 2 x y ⋅ d y d x = 0

3 x 2 d y d x - 6 x y     x 4 + 9 y 2 + 2 x y ⋅ d y d x = - y 2

3 x 2 d y d x - 6 x y   + ( x 4 + 9 y 2 ) 2 x y ⋅ d y d x x 4 + 9 y 2 = - y 2

3 x 2 d y d x - 6 x y   + ( x 4 + 9 y 2 ) 2 x y ⋅ d y d x = - y 2 ( x 4 + 9 y 2 )

3 x 2 d y d x + x 4 + 9 y 2 2 x y ⋅ d y d x = - y 2 x 4 + 9 y 2 + 6 x y

d y d x 3 x 2 + x 4 + 9 y 2 2 x y = - y 2 x 4 + 9 y 2 + 6 x y

d y d x = - y 2 x 4 + 9 y 2 + 6 x y 3 x 2 + x 4 + 9 y 2 2 x y

Ufa! Questão um pouco trabalhosa, mas o procedimento de resolver questões por derivação implícita SEMPRE é esse, basta fazer bem passo a passo e com o tempo vocês farão mais rápido.

Resposta

d y d x = - y 2 x 4 + 9 y 2 + 6 x y 3 x 2 + x 4 + 9 y 2 2 x y

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