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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 19

Ache (d y)/(d x) por derivação implícita: cot^(- 1) (x^2)/(3 y) + x y^2 = 0

Passo 1

Pessoal, o primeiro passo nesse tipo de questão é tomar a derivada de ambos os lados da seguinte forma:

(d)/(d x) (cot^(- 1) (x^2)/(3 y) + x y^2) = (d)/(d x) ( 0 )

Derivada de constante é 0 e a derivada da soma é a soma das derivadas:

(d)/(d x) (cot^(- 1) (x^2)/(3 y)) + (d)/(d x) (x y^2) = 0

A dica que eu dou aqui é trocar y por f ( x ) que aí você vai perceber o que pode derivar direto e o que não pode, no caso de ter f ( x ) , você não vai poder mexer, certo? Você não sabe que função é essa! Então ficaria o seguinte:

(d)/(d x) (cot^(- 1) (x^2)/(3 f ( x ))) + (d)/(d x) (x [ f (x) ]^2) = 0

Passo 2

Agora eu vou derivar uma parcela de cada vez. Primeiro (d)/(d x) (cot^(- 1) (x^2)/(3 f ( x ))) , precisamos saber que:

(cot^(- 1) u) ' = - (u ')/(u^2 + 1)

No nosso caso, u = (x^2)/(3 f ( x )) . Então vamos ficar com:

(cot^(- 1) (x^2)/(3 f ( x ))) ' = - (((x^2)/(3 f (x))) ')/(((x^2)/(3 f (x)))^2 + 1)

Precisamos da derivada de (x^2)/(3 f ( x )) . E agora? O mais importante agora é percebemos que temos um quociente de funções, então vamos usar a regra do quociente para derivar!

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' ( x ) g (x) - h (x) g^' (x))/([g (x)]^2)

Perceba que h ( x ) = x^2 e g ( x ) = 3 f ( x ) . Utilizando a fórmula, ficamos com:

((x^2)/(3 f (x)))^' = ((x^2)^' 3 f (x) - x^2 (3 f (x)) ')/([3 f (x)]^2) = (2 x * 3 f (x) - 3 x^2 f ' ( x ))/(9 [f (x)]^2) = (6 x f (x) - 3 x^2 f ' ( x ))/(9 [f (x)]^2)

Agora vamos substituir em (cot^(- 1) (x^2)/(3 f ( x ))) ' = - (((x^2)/(3 f (x))) ')/(((x^2)/(3 f (x)))^2 + 1) , ficando com:

(cot^(- 1) (x^2)/(3 f ( x ))) ' = - ((6 x f (x) - 3 x^2 f^' (x))/(9 [f (x)]^2))/(((x^2)/(3 f (x)))^2 + 1) = - ((6 x f (x) - 3 x^2 f^' (x))/(9 [f (x)]^2))/((x^4)/(9 [f (x)]^2) + 1)

= - ((6 x f (x) - 3 x^2 f^' (x))/(9 [f (x)]^2))/((x^4)/(9 [f (x)]^2) + 1) = - ((6 x f (x) - 3 x^2 f^' (x))/(9 [f (x)]^2))/((x^4 + 9 [f (x)]^2)/(9 [f (x)]^2)) = - (6 x f (x) - 3 x^2 f^' (x))/(x^4 + 9 [f (x)]^2)

(d)/(d x) (cot^(- 1) (x^2)/(3 f ( x ))) = (3 x^2 f^' (x) - 6 x f (x))/(x^4 + 9 [f (x)]^2)

Ok, paramos por aqui.

Passo 3

Agora eu vou pegar (d)/(d x) (x [ f (x) ]^2) , precisamos perceber que temos um produto de funções, então basta usar a regra do produto:

(h (x) g (x)) ' = h ' (x) g (x) + h (x) g ' ( x ) .

Utilizando a fórmula, ficamos com:

(x f ( x )^2) ' = x ' [ f (x) ]^2 + x ( [f (x)]^2 ) '

(x f ( x )^2) ' = 1 [ f (x) ]^2 + x ( 2 [f (x)]^(2 - 1) * f ' ( x ) )

Acima usamos o fato de que (u^n)^' = n u^(n - 1) * u ' , para n = 2 e u = f ( x ) .

(d)/(d x) (x [ f (x) ]^2) = [ f (x) ]^2 + 2 x f ( x ) * f ' ( x )

Fechou aqui também.

Passo 4

Agora vamos substituir as derivadas do passo 2 e 3, em (d)/(d x) (cot^(- 1) (x^2)/(3 f ( x ))) + (d)/(d x) (x [ f (x) ]^2) = 0 .

(3 x^2 f^' (x) - 6 x f (x))/(x^4 + 9 [f (x)]^2) + [ f (x) ]^2 + 2 x f ( x ) * f ' ( x ) = 0

Só falta agora trocar f ( x ) por y de novo e onde está f ’ ( x ) eu vou colocar (d y)/(d x) .

(3 x^2 ((d y)/(d x)) - 6 x y)/(x^4 + 9 y^2) + y^2 + 2 x y * ((d y)/(d x)) = 0

Passo 5

O último passo é deixar (d y)/(d x) isolado.

(3 x^2 ((d y)/(d x)) - 6 x y)/(x^4 + 9 y^2) + y^2 + 2 x y * ((d y)/(d x)) = 0

(3 x^2 ((d y)/(d x)) - 6 x y)/(x^4 + 9 y^2) + 2 x y * ((d y)/(d x)) = - y^2

(3 x^2 ((d y)/(d x)) - 6 x y + ( x^4 + 9 y^2 ) 2 x y * ((d y)/(d x)))/(x^4 + 9 y^2) = - y^2

3 x^2 ((d y)/(d x)) - 6 x y + ( x^4 + 9 y^2 ) 2 x y * ((d y)/(d x)) = - y^2 ( x^4 + 9 y^2 )

3 x^2 ((d y)/(d x)) + (x^4 + 9 y^2) 2 x y * ((d y)/(d x)) = - y^2 (x^4 + 9 y^2) + 6 x y

((d y)/(d x)) (3 x^2 + (x^4 + 9 y^2) 2 x y) = - y^2 (x^4 + 9 y^2) + 6 x y

(d y)/(d x) = (- y^2 (x^4 + 9 y^2) + 6 x y)/((3 x^2 + (x^4 + 9 y^2) 2 x y))

Ufa! Questão um pouco trabalhosa, mas o procedimento de resolver questões por derivação implícita SEMPRE é esse, basta fazer bem passo a passo e com o tempo vocês farão mais rápido.

Resposta

(d y)/(d x) = (- y^2 (x^4 + 9 y^2) + 6 x y)/((3 x^2 + (x^4 + 9 y^2) 2 x y))

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