5.

a. Mostre que e são inversas uma da outra.

b. Esboce em um único gráfico e em um intervalo de suficientemente grande para mostrar o cruzamento de ambos em e . Certifique-se de que o gráfico apresenta a simetria necessária em relação à reta .

c. Determine os coeficientes angulares das tangentes aos gráficos de e em e (quatro tangentes no total).

d. Quais retas tangenciam as curvas na origem?

b.

Os dois gráficos são simples de desenhar por serem bastante conhecidos. O primeiro uma função do terceiro grau e o segundo uma função raiz cubic.

Podemos plotar alguns pontos, para termos um gráfico mais fiel. E vamos obter:

A linha pontilhada é a linha , podemos observar que as funções apresentam a simetria necessária.

c.

O coeficiente angular da tangente, em certo ponto da função, é a derivada da função naquele ponto.

Então vamos calcular a derivada das funções e :

e

c.

Agora só precisamos achar o valor das derivadas nos pontos dados:

No ponto :

e

No ponto :

e

d.

Essa é fácil, é só observarmos o gráfico que vamos ver que a reta tangente à em é:

Mas se você fez um esboço do gráfico e não tem certeza é só derivar e alpicar a derivada nesse ponto:

E para é a mesma coisa. A gente observa no gráfico que a reta tangente em irá ser:

E podemos calcular usando a derivada também:

Acontece que não podemos dividir por zero, então imagine que o x está tendendo a zero. Nesse caso está tendendo ao infinito, uma reta com o coeficiente angular infinito é uma reta na vertical, ou seja, a reta tangente a curva nesse ponto é a reta .