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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 17

Um campo retangular com uma área de 2700   m 2 deve ser fechado e uma cerca adicional deve ser usada para dividi-lo ao meio. O custo da cerca do meio é $ 12 por metro linear e ao longo dos lados a cerca custa $ 18 por metro linear. Ache as dimensões do campo, de modo que o custo da cerca seja mínimo.

Passo 1

Seja x a largura do campo e y   o comprimento. Sabemos que a área do campo é igual a 2700   m ² . Vamos escrever a expressão que representa a área.

A = y x = 2700   m 2 x y = 2700 x y = 2700 x = 2700 y

Passo 2

A expressão que representa o custo da cerca total para o campo será:

C = 1 8 2 x + 2 y + 12 x Substituindo o valor de x na expressão acima temos:

C = 1 8 2 * 270 0 y + 2 y + 12 * 2700 y C = 1 8 54 00 y + 2 y + 32400 y C = 18 54 00 + 2 y 2 y + 32400 y C = 972 00 y + 36 y 2 y + 32400 y C = 129600 y + 36 y

Queremos que o custo seja mínimo. Para isso, vamos derivar a expressão acima em relação a y e igualar a zero.

d C d y = 0 = - 129600 y 2 + 36 129600 y 2 = 36 y 2 = 1296 00 36 y 2 = 3600 y = 60   m

Passo 3

Agora que encontramos o valor de y vamos substituir lá naquela expressão oriunda da área, que encontramos no passo 1.

x = 2700 60 x = 45   m

Resposta

Portanto, as dimensões do campo são:

x = 45 m   e   y = 60   m

O custo mínimo será:

C = 18 2 * 45 + 2 * 60 + 12 * 45 C = $   4320

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