Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 3

Ache as dimensões do maior campo retangular que pode ser fechado com m de cerca.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Precisamos associar a área do retângulo aos valores das laterais do retângulo. Seja um retângulo de área , comprimento e largura :

E além disso sabemos que temos de cerca, então o perímetro do retângulo não pode passar de .

Agora precisamos deixar a equação da área com apenas uma variável. Vamos isolar o em função de na segunda equação:

Agora substituindo na nossa equação:

Voilá! Temos a função do jeito que a gente quer. Perceba que é a equação de uma parábola com concavidade para baixo, então teremos um ponto onde a derivada se anula. Vamos fazer a derivada.