Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 25
Para um pacote ser aceito por um determinado serviço de entrega de encomendas, a soma do comprimento e do perímetro da seção transversal não deve ser maior do que 100 cm. Se um pacote tiver o formato de uma caixa retangular com uma secção quadrada, ache as dimensões do pacote tendo o maior volume possível que possa ser despachado.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Vamos começar atribuindo nomes às variáveis que temos. A questão diz que a soma de seu perímetro e seu comprimento não pode ser maior que cm. Como queremos o maior volume possível, vamos ficar com:
Se a caixa tem secção transversal quadrada, digamos que de lado . O seu perímetro vai ser:
Substituindo isso na outra equação:
Agora vamos para a equação do volume:
Vamos substituir a equação que temos para :
Voilá! Agora é só derivar e igualar a zero e teremos o nosso ponto de volume máximo!
Passo 3
Derivando :
Igualando a :
Assumindo que
Passo 4
Agora é só substituir o valor de na equação de e teremos todas as dimensões da caixa!
Resposta
cm por cm por cm.