Ache uma equação da circunferência cujo diâmetro é a corda comum às circunferências x 2 + y 2 + 2 x - 2 y - 14 = 0 e x 2 + y 2 - 4 x + 4 y - 2 = 0 .

Passo 1

Sabemos que a fórmula da distância entre dois pontos P 1 x 1 ,   y 1 e P 2 x 2 ,   y 2 é dada por P 1 P 2 - = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 . Além disso, a equação de uma circunferência com centro no ponto x 0 ,   y 0 e raio r é x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 . Dessa forma, precisamos encontrar as coordenadas do centro e o raio e, para isso, vamos resolver o sistema das duas circunferências para saber os pontos de interseção delas. Fazendo um esboço do problema

É pedido que o segmento A B - seja o diâmetro da nova circunferência.

Passo 2

Para achar os pontos A e B, resolvemos o sistema

x 2 + y 2 + 2 x - 2 y - 14 = 0     i x 2 + y 2 - 4 x + 4 y - 2 = 0     i i

Fazendo i - ( i i ) , temos:

0 + 0 + 6 x - 6 y - 12 = 0

6 x - 12 = 6 y

y = x - 2

Substituindo em i ,

x 2 + x - 2 2 + 2 x - 2 x - 2 - 14 = 0

x 2 + x 2 - 4 x + 4 + 2 x - 2 x + 4 - 14 = 0

2 x 2 - 4 x - 6 = 0

x 2 - 2 x - 3 = 0

x = 3 ∨ x = - 1

Substituindo em y = x - 2 :

x = 3 ⇒ y = 3 - 2 = 1

x = - 1 ⇒ y = - 1 - 2 = - 3

Passo 3

Para achar o raio r, fazemos

2 r = - 1 - 3 2 + - 3 - 1 2 = 4 ⋅ 2

r = 2 ⋅ 2

Passo 4

Para o centro, sabemos que este se encontra no ponto médio do diâmetro, logo

x 0 ,   y 0 = - 1 ,   - 3 + 3 ,   1 2 = - 1 + 3 2 , - 3 + 1 2 = 1 , - 1

Passo 5

Substituindo os resultados na fórmula da circunferência, temos

x - 1 2 + y - - 1 2 = 2 ⋅ 2 2

Resposta

x - 1 2 + y + 1 2 = 8

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