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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 42

Ache uma equação da circunferência cujo diâmetro é a corda comum às circunferências x 2 + y 2 + 2 x - 2 y - 14 = 0 e x 2 + y 2 - 4 x + 4 y - 2 = 0 .

Passo 1

Sabemos que a fórmula da distância entre dois pontos P 1 x 1 ,   y 1 e P 2 x 2 ,   y 2 é dada por P 1 P 2 - = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 . Além disso, a equação de uma circunferência com centro no ponto x 0 ,   y 0 e raio r é x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 . Dessa forma, precisamos encontrar as coordenadas do centro e o raio e, para isso, vamos resolver o sistema das duas circunferências para saber os pontos de interseção delas. Fazendo um esboço do problema

É pedido que o segmento A B - seja o diâmetro da nova circunferência.

Passo 2

Para achar os pontos A e B, resolvemos o sistema

x 2 + y 2 + 2 x - 2 y - 14 = 0     i x 2 + y 2 - 4 x + 4 y - 2 = 0     i i

Fazendo i - ( i i ) , temos:

0 + 0 + 6 x - 6 y - 12 = 0

6 x - 12 = 6 y

y = x - 2

Substituindo em i ,

x 2 + x - 2 2 + 2 x - 2 x - 2 - 14 = 0

x 2 + x 2 - 4 x + 4 + 2 x - 2 x + 4 - 14 = 0

2 x 2 - 4 x - 6 = 0

x 2 - 2 x - 3 = 0

x = 3 ∨ x = - 1

Substituindo em y = x - 2 :

x = 3 ⇒ y = 3 - 2 = 1

x = - 1 ⇒ y = - 1 - 2 = - 3

Passo 3

Para achar o raio r, fazemos

2 r = - 1 - 3 2 + - 3 - 1 2 = 4 ⋅ 2

r = 2 ⋅ 2

Passo 4

Para o centro, sabemos que este se encontra no ponto médio do diâmetro, logo

x 0 ,   y 0 = - 1 ,   - 3 + 3 ,   1 2 = - 1 + 3 2 , - 3 + 1 2 = 1 , - 1

Passo 5

Substituindo os resultados na fórmula da circunferência, temos

x - 1 2 + y - - 1 2 = 2 ⋅ 2 2

Resposta

x - 1 2 + y + 1 2 = 8

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Pela primeira Lei de Kepler, a trajetória da Terra é elíptica e o Sol ocupa a posição de um de seus focos. Calcule o periélio e o afélio da Terra (que são, respectivamente, a menor e a maior distância
Em cada caso, determine os vértices, os focos, e as medidas dos eixos maior e menor da elipse. E : 16 x 2 + 25 y 2 = 400 E : x 2 + 9 y 2 = 9 E : 50 - y 2 - 2 x 2 = 0 E : 3 x 2 + 4 y 2 - 12 = 0 .
Em cada caso, determine os vértices, os focos, e as medidas dos eixos maior e menor da elipse. E : 16 x 2 + 25 y 2 = 400 E : x 2 + 9 y 2 = 9 E : 50 - y 2 - 2 x 2 = 0 E : 3 x 2 + 4 y 2 - 12 = 0 .
Sendo X = x , y um ponto de E : x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 e d 1 e d 2 as distâncias de X aos focos, calcule? d 1 e d 2 em função de y ;Os valores máximo e mínimo de d 1 e d 2 ; em que pontos ocorrem?
Prove que, se r é uma tangente a elipse E , então todos os seus pontos, exceto o ponto de tangência, são exteriores a E .