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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 57

Suponha que uma bala seja atirada verticalmente para baixo pelo avião mencionado no exercício 56, com uma velocidade na boca da arma de 750 m/s. Desprezando a resistência do ar, quanto tempo levará para a bala atingir a água?

Dado do exercício 56: o avião está a 9.000 m do nível do mar.

Passo 1

Sabendo que a aceleração da gravidade é g e sendo s ( t ) a altura da bala em relação ao solo, temos então que s ' ' t = - g . Devemos então integrar duas vezes essa aceleração para chegarmos à função s ( t ) .

Passo 2

Integrando a primeira vez, temos:

∫ - g d t = - g t + C

Temos então a expressão de s ' t = - g t + C . Mas esse é o valor da velocidade no tempo t , que é -750 m/s para t = 0 pois a bala sai com essa velocidade para baixo. Então:

s ' 0 = - 750 ⇒ g ⋅ 0 + C = - 750 ⇒ C = - 750 ⇒ s ' t = g t - 750

Passo 3

Agora, integramos novamente:

s t = ∫ ( - g t - 750 )   d t = - g t 2 2 - 750 t + C 2

Mas sabemos que s 0 = 9000 , então

- g ⋅ 0 2 - 750 ⋅ 0 + C 2 = 9000 ⇒ C 2 = 9000 ⇒ s t = - g t 2 2 - 750 t + 9000

Para s = 0 , no nível do mar, achamos o valor de t da queda:

0 = - g t 2 2 - 750 t + 9000 ⇒ g t 2 + 1500 t - 18000 = 0

Basta agora resolver a equação de segundo grau.

Passo 4

Resolvendo a equação:

Δ = 1500 2 - 4 ⋅ g ⋅ - 18000 = 2250000 + 72000 g

t = - 1500 + 2250000 + 72000 g 2 g = 30 625 + 20 g - 750 g

Resposta

t = 30 625 + 20 g - 750 g  

Se g = 10 m/s²:

t = 30 625 + 20 g - 750 10 = 3 825 - 75 = 11,17   s

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