Enunciado

Desprezando a resistência do ar, se um objeto cai de um avião a uma altura de 9.000 m acima do nível do mar, quanto tempo levará para o objeto atingir a água?

Passo 1

Sabendo que a aceleração da gravidade é g e sendo s ( t ) a altura do objeto em relação ao solo, temos então que s ' ' t = - g . Devemos então integrar duas vezes essa aceleração para chegarmos à função s ( t ) .

Passo 2

Integrando a primeira vez, temos:

∫ g d t = - g t + C

Temos então a expressão de s ' t = - g t + C . Mas esse é o valor da velocidade no tempo t , que é zero para t = 0 pois o objeto cai partindo de uma velocidade vertical nula. Então:

s ' 0 = 0 ⇒ - g ⋅ 0 + C = 0 ⇒ C = 0 ⇒ s ' t = g t

Passo 3

Agora, integramos novamente:

s t = ∫ - g t   d t = - g t 2 2 + C 2

Mas sabemos que s 0 = 9000 , então

- g ⋅ 0 2 + C 2 = 9000 ⇒ C 2 = 9000 ⇒ s t = - g t 2 2 + 9000

Para s = 9000 , achamos o valor de t da queda:

0 = - g t 2 2 + 9000 ⇒ t 2 = 18000 g ⇒ t = 5 ⋅ 3600 g = 60 5 g

Resposta

t = 60 5 g   s

Se g = 10 m/s²:

t = 30 2   s

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