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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 32

Ache a equação da elipse cujos os focos são os vértices da hipérbole 11 x 2 - 7 y 2 = 77 e cujos os vértices são os focos dessa hipérbole.

Passo 1

Pelo enunciado podemos tirar as seguintes informações: centro da hipérbole é o mesmo da elipse e pelas distâncias desses pontos podemos chegar em a e = c h e c e = a h que por consequência a e 2 = c h 2 e c e 2 = a h 2 . Tendo em mente esses dados vamos passar a equação da hipérbole para forma reduzida e encontrar para encontrar a h 2   e   c h 2 .

11 x 2 - 7 y 2 = 77 ∙ 1 77

x 2 7 - y 2 11 = 1

Agora temos a h 2 = 7 e b h 2 = 11 . Para achar c h 2 basta aplicar a Identidade Pitagórica para a hipérbole.

c h 2 =   a h 2 + b h 2

c h 2 =   7 + 11

c h 2 =   18

Passo 2

Agora aplicando as igualdades estabelecidas antes temos a e 2 = c h 2 = 18 e c e 2 = a h 2 = 7 . Para achar c e 2 basta aplicar a Identidade Pitagórica para a elipse.

a e 2 =   b e 2 + c e 2

18 =   b e 2 + 7

11 =   b e 2

Passo 3

Agora vamos montar a elipse.

x 2 a e 2 + y 2 b e 2 = 1

x 2 18 + y 2 11 = 1

Resposta

x 2 18 + y 2 11 = 1

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