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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 44

Ache uma equação da reta norma à curva y = x l n x que seja perpendicular à reta com a equação x - y + 7 = 0 .

Passo 1

Sabemos que suas retas perpendiculares possuem uma relação com seus coeficientes igual a m * n = - 1 . Como a reta normal precisa ser perpendicular a outra reta com equação x - y + 7 = 0 , vamos descobrir o coeficiente dessa reta.

x - y + 7 = 0 y = x + 7 m = 1

O coefiente da reta normal que nós queremos será o inverso da encontrada acima. Logo,

n = - 1 m = - 1

Passo 2

O coeficiente da reta tangente é o inverso da reta normal, ou seja, se n é o coeficiente da reta normal, o coeficiente da tangente será r = - 1 / n . Desse modo, o coeficiente da reta tangente nessa caso será r = - 1 n = 1 .

A derivada de y = x l n x é dada por:

d y d x = l n x + x x = l n x + 1

Como a derivada indica o coeficiente angular da reta tangente à curva, temos a seguinte igualdade:

l n x + 1 = 1 l n x = 0 x = 1 Assim, temos o ponto por onde passa a curva normal que queremos: 1 ; ln ⁡ 1

Passo 3

Logo, a equação da reta normal pode ser definida como:

y - y o = m * x - x o y - ln ⁡ 1 = - 1 * x - 1 y - 0 = - x + 1

Resposta

A equação normal à curva é:

y = - x + 1

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Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais. e x = 3 - 2 x
Seja g (x) = x^3 - 4 x + 6 . Encontre f ( x ) , tal que f^' (x) = g ' ( x ) e f (1) = 2 .
Use o fato de que d d x x 6 - 2 x + x = 6 x 5 - 4 x + 1 para mostrar que a equação 6 x 5-4 x+1=0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 ,1 ) .
Ache uma equação da reta norma à curva y = l n x que seja paralela à reta x + 2 y - 1 = 0 .