Ache uma equação da reta norma à curva y = x * ln(x) que seja perpendicular à reta com a equação x - y + 7 = 0 .

Passo 1

Sabemos que suas retas perpendiculares possuem uma relação com seus coeficientes igual a m * n = - 1 . Como a reta normal precisa ser perpendicular a outra reta com equação x - y + 7 = 0 , vamos descobrir o coeficiente dessa reta.

x - y + 7 = 0 y = x + 7 m = 1

O coefiente da reta normal que nós queremos será o inverso da encontrada acima. Logo,

n = - 1 m = - 1

Passo 2

O coeficiente da reta tangente é o inverso da reta normal, ou seja, se n é o coeficiente da reta normal, o coeficiente da tangente será r = - 1 / n . Desse modo, o coeficiente da reta tangente nessa caso será r = - 1 n = 1 .

A derivada de y = x l n x é dada por:

d y d x = l n x + x x = l n x + 1

Como a derivada indica o coeficiente angular da reta tangente à curva, temos a seguinte igualdade:

l n x + 1 = 1 l n x = 0 x = 1 Assim, temos o ponto por onde passa a curva normal que queremos: 1 ; ln ⁡ 1

Passo 3

Logo, a equação da reta normal pode ser definida como:

y - y o = m * x - x o y - ln ⁡ 1 = - 1 * x - 1 y - 0 = - x + 1

Resposta

A equação normal à curva é:

y = - x + 1

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