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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 34

Um peso é suspenso por uma mola e vibra verticalmente de acordo com a equação y = 4 sen ⁡ 2 π t + 1 6 , onde y cm é a distância orientada do peso, a partir de sua posição de equilíbrio t s após começar o movimento e a direção positiva é para cima. (a) Resolva a equação em t . Use a equação da parte (a) para determinar o menor valor positivo de t para o qual o deslocamento do peso em relação à sua posição de equilíbrio é (b) 2 cm e (c) 3 cm.

Passo 1

  1. Resolver a equação em t , significa deixar o t , isolado.

    2. Vamos direto ao que a questão pede, pessoal. Faremos isso assim:

    y = 4 sen ⁡ 2 π t + 1 6

    y 4 = sen ⁡ 2 π t + 1 6

    Aqui pensamos o seguinte: 2 π t + 1 6 é o arco cujo seno é y 4 . Então, podemos escrever isso da seguinte forma para pegar todas soluções:

    2 π t + 1 6 = 2 π k + sen - 1 ⁡ y 4 ou 2 π t + 1 6 = 2 n + 1 π - sen - 1 ⁡ y 4 com k , n ∈ Z .

    Lembrando que somamos 2 π k para pegar todas soluções e acrescentamos a solução 2 n + 1 π - sen - 1 ⁡ y 4 , pois:

    sen ⁡ θ = sen ⁡ π - θ = … = sen ⁡ ( 2 n + 1 ) π - θ

    Um exemplo: sen ⁡ π 3 = sen ⁡ 5 π - π 3 .

    Resolvendo em t , ficamos com:

    2 π t + 2 π 6 = 2 π k + sen - 1 ⁡ y 4     →       2 π t = 2 π k - 2 π 6 + sen - 1 ⁡ y 4

    t = 2 π k 2 π - 2 π 6 ⋅ 2 π + 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4         →       t = k - 1 6 + 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4

    com k ∈ Z . Ou:

    2 π t + 2 π 6 = 2 n + 1 π - sen - 1 ⁡ y 4     →       2 π t = 2 n + 1 π - 2 π 6 - sen - 1 ⁡ y 4

    t = 2 n + 1 π 2 π - 2 π 6 ⋅ 2 π - 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4         →       t = n + 1 2 - 1 6 - 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4

    t = n + 1 3 - 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4

    com n ∈ Z .

    Passo 2

  2. Usando a equação de a) determine o menor valor positivo de t para o qual o deslocamento do peso em relação à sua posição de equilíbrio é 2 cm.

    3. Utilizando e analisando as equações, temos para y = 2 :

    t = k - 1 6 + 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4 = k - 1 6 + 1 2 π sen - 1 ⁡ 1 2 = k - 1 6 + π 6 2 π = k - 1 6 + 1 12 = k - 1 12

    Para k = - 1 , temos t < 0 .

    Para k = 0 , temos t < 0 .

    Para k = 1 , temos t = 11 12 ≈ 0.916 .

    ou:

    t = n + 1 3 - 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4 = n + 1 3 - 1 2 π sen - 1 ⁡ 1 2 = n + 1 3 - π 6 2 π = n + 1 3 - 1 12 = n + 1 4

    Para n = - 1 , temos t < 0 .

    Para n = 0 , temos t = 1 4 = 0,25 .

    Para n = 1 , temos t > 0.25 .

    O menor valor positivo ocorre quando n = 0 na segunda equação. Ou seja, o menor valor é t = 1 4 .

    Passo 3

  3. Usando a equação de a) determine o menor valor positivo de t para o qual o deslocamento do peso em relação à sua posição de equilíbrio é 3 cm.

Utilizando e analisando as equações, temos para y = 3 :

t = k - 1 6 + 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4 = k - 1 6 + 1 2 π sen - 1 ⁡ 3 4

Aqui temos que usar uma calculadora para calcular os valores usando a função inversa do seno.

Para k = - 1 , temos t ≈ - 1,031 .

Para k = 0 , temos t ≈ - 0.032 .

Para k = 1 , temos t ≈ 0,968 .

ou:

t = n + 1 3 - 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4 = n + 1 3 - 1 2 π sen - 1 ⁡ 3 4

Para n = - 1 , temos t ≈ - 0,801 .

Para n = 0 , temos t ≈ 0,198 .

Para n = 1 , temos t ≈ 1,198 .

O menor valor positivo ocorre quando n = 0 na segunda equação. Ou seja, o menor valor é t = 1 3 - 1 2 π sen - 1 ⁡ 3 4 ≈ 0,198 .

Resposta

  1. t = k - 1 6 + 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4 e t = n + 1 3 - 1 2 π sen - 1 ⁡ y 4 com k , n ∈ Z .
  2. t = 1 4
  3. t = 1 3 - 1 2 π sen - 1 ⁡ 3 4 ≈ 0,198
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