Ache uma equação da reta normal à curva x - y = raiz(x + y) no ponto (3, 1)

Passo 1

Bom, como o enunciado nos pede a reta normal, vamos precisar derivar a curva que foi dada. O problema é que não podemos separar x de um lado e o y do outro para fazermos a derivada explícita, então faremos implicitamente:

d d x x - y = d d x x + y

Passo 2

O lado esquerdo da nossa equação podemos resolver diretamente:

d d x x - y = 1 - y '

Já o lado esquerdo vai precisar da Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora:

d d t t = 1 2 t

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dessa função, ficando assim:

d d x x + y = 1 2 x + y d d x ( x + y )

Calculando a derivada que apareceu diretamente, a gente encontra:

d d x x + y = 1 2 x + y 1 + y ' = 1 + y ' 2 x + y

Passo 3

Agora a gente substitui os resultados na nossa equação do Passo 1:

d d x x - y = d d x x + y

1 - y ' = 1 + y ' 2 x + y

E então substituímos o ponto 3 ,   1 na nossa equação:

1 - y ' = 1 + y ' 2 3 + 1 = 1 + y ' 4

Separando y’:

4 1 - y ' = 1 + y '

- 4 y ' - y ' = - 3

y ' = 3 5

Passo 4

Como y’ corresponde à inclinação da reta tangente, precisamos fazer a seguinte operação para que ela passe a ser a inclinação da reta normal, que é o que é pedido no enunciado:

T = - 1 y '

Onde T é a inclinação da reta normal. Substituindo y’:

T = - 1 3 5 = - 5 3

Passo 5

Agora basta substituirmos os valores do ponto e a inclinação na equação da reta:

y - y p = T ( x - x p )

Vai ficar:

y - 1 = - 5 3 ( x - 3 )

y = 6 - 5 3 x

Resposta

y = 6 - 5 3 x

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