Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 36
Ache uma equação da reta normal à curva no ponto
Passo 1
Bom, como o enunciado nos pede a reta normal, vamos precisar derivar a curva que foi dada. O problema é que não podemos separar x de um lado e o y do outro para fazermos a derivada explícita, então faremos implicitamente:
Passo 2
O lado esquerdo da nossa equação podemos resolver diretamente:
Já o lado esquerdo vai precisar da Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora:
Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dessa função, ficando assim:
Calculando a derivada que apareceu diretamente, a gente encontra:
Passo 3
Agora a gente substitui os resultados na nossa equação do Passo 1:
E então substituímos o ponto na nossa equação:
Separando y’:
Passo 4
Como y’ corresponde à inclinação da reta tangente, precisamos fazer a seguinte operação para que ela passe a ser a inclinação da reta normal, que é o que é pedido no enunciado:
Onde T é a inclinação da reta normal. Substituindo y’:
Passo 5
Agora basta substituirmos os valores do ponto e a inclinação na equação da reta:
Vai ficar: