Ache os números críticos da função dada.

f(x) = x^4 + 11x^3 + 34x^2 + 15x - 2

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que f^' (x) = 0 ou que f ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

Como f é um polinômio, tanto ele como sua derivada estão definidos em todos os pontos, de modo que os pontos críticos serão apenas aqueles que zeram a derivada. Calculando f ' :

f^' (x) = 4 x^3 + 33 x^2 + 68 x + 15

Passo 2

Igualando a derivada a zero:

4 x^3 + 33 x^2 + 68 x + 15 = 0

Note que x = - 3 é raiz da equação. Assim, podemos dividir o polinômio 4 x^3 + 33 x^2 + 68 x + 15 por x + 3 e obter 4 x^2 + 21 x + 5 :

(x + 3) (4 x^2 + 21 x + 5) = 0

Assim, só precisamos resolver a equação

4 x^2 + 21 x + 5 = 0 ,

cuja soluções são

x = (- 21 +- sqrt(441 - 80))/(8) = (- 21 +- 19)/(8)

Portanto, os pontos críticos são

x = - 3 , x = - 5 e x = - (1)/(4)

Resposta

x = - 3 , x = - 5 e x = - (1)/(4)

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