Ache uma equação da reta que é tangente à circunferência x 2 + y 2 - 4 ⋅ x + 6 ⋅ y - 12 = 0 no ponto 5 ,   1 .

Passo 1

Podemos descobrir a reta sabendo que uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Precisamos antes reescrever a equação da circunferência na forma centro-raio completando quadrados.

(Lembrando: uma reta com equação reduzida y = m ⋅ x + n possui infinitas retas perpendiculares a ela e todas com inclinação m ’ = - 1 m ; quadrado perfeito a 2 ± 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 = a ± b 2 .)

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência na forma centro-raio para descobrir o centro.

x 2 - 2 ⋅ 2 ⋅ x + 2 2 - 2 2 + y 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ y + 3 2 - 3 2 - 12 = 0

x - 2 2 + y + 3 2 = 4 + 9 + 12 = 25

Logo, temos que o centro da circunferência é o ponto 2 ,   - 3 .

Passo 3

Para descobrir a equação reduzida da reta, precisamos de sua inclinação m e de um ponto. O ponto já nos foi dado e a inclinação m = - 1 m ’ , em que m’ é a inclinação da reta que passa pelos pontos 2 ,   - 3 , centro da circunferência, e o ponto dado 5 ,   1 . Logo,

m ’ = - 3 - 1 2 - 5 = - 4 - 3 = 4 3

E assim,

m = - 1 4 3 = - 3 4

Passo 4

Assim, a equação da reta será

y = - 3 4 ⋅ x - 5 + 1

y = - 3 4 ⋅ x + 19 4

Resposta

y = - 3 4 ⋅ x + 19 4

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