Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 44
44. Ache a, b e c, tais que a função definida por
tenha um valor máximo relativo de 7 em 1, e que o gráfico de passe pelo ponto (2,-2)
Passo 1
Podemos ver com o teorema 4.4.4 do livro algumas ideias importantes para os extremos relativos, a que será fundamental para resolução do exercício é que no ponto dos extremos relativos .
E por quê? Bom, porque a nossa função tem inclinação nula nesse determinado ponto e como já sabemos bem que a derivada é a inclinação da reta, se não tem inclinação a derivada é 0
Com esse lembrete já estamos prontos para começar nossa resolução.
Passo 2
Primeiramente vamos pegar nossa função e derivá-la, pois iremos usar a função e a derivada da função a partir de agora.
Nossa função é:
E sua derivada é:
O ponto de máximo relativo foi dado enunciado então vamos pegá-lo e encaixá-lo apropriadamente na nossa função.
Passo 3
Máximo relativo no ponto
Neste ponto e então nossa função fica:
E a derivada da função fica:
Igualado a zero pois como explicamos no Passo 1, não há inclinação nesse ponto.
Passo 4
Outra informação importante que o enunciado nos deu é que o gráfico dessa função passa no ponto então podemos substituir esses pontos também na nossa função e conseguir uma outra equação:
Passo 5
Temos 3 equações e 3 incógnitas, então vamos resolver um sistema e dele tirar os nossos resultados.
Vamos mexer nesse sistema de forma em colocar tudo em função de a.
Passo 6
Descobrimos quem é a, e como deixamos tudo em função de a é só substituir nas outras equações.
Pronto, conseguimos tudo o que o enunciado pediu!