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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 45

Ache uma equação da reta tangente à curva y = e - x que é perpendicular à reta 2 x - y = 5 .

Passo 1

Primeiro, para a reta ser tangente à curva vamos encontrar a sua inclinação através da derivada dessa curva:

y ' = - e - x

Segundo, para a reta ser perpendicular a outra reta o seu coeficiente angular precisa ser o oposto do inverso do coeficiente da outra.

Como a reta dada é 2 x - y = 5 , temos:

y = 2 x - 5

E seu coeficiente angular é 2 .

Logo, o coeficiente angular da reta perpendicular é - 1 2 .

Como as duas respostas são a inclinação da reta podemos igualá-las:

- e - x = - 1 2 ∴ e - x = 1 2

- x = ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2

x = ln ⁡ 2

Enquanto que o y será:

y = e - x

y = e - ln ⁡ 2 = 1 e ln ⁡ 2 = 1 2

ln ⁡ 2 ,   1 2

Passo 2

Encontramos um ponto da reta que queremos, como já temos também a inclinação podemos montar nossa equação da reta:

y - y 0 = m x - x 0

y - 1 2 = - 1 2 x - ln ⁡ 2

y = - 1 2 x - ln ⁡ 2 - 1

Resposta

y = - 1 2 x - ln ⁡ 2 - 1

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