Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 41
A tabela mostra a estimativa da porcentagem da população da Europa que usa telefones celulares. (Estimativas dadas para meados do ano.)
- Encontre a taxa média do crescimento do número de celulares:
- Estime a taxa instantânea de crescimento em tomando a média de duas taxas médias da variação. Quais são suas unidades?
- Estime a taxa instantânea de crescimento em medindo a inclinação de uma tangente.
( de a de a de a
Em cada caso, inclua as unidades.
Passo 1
E aí galera, beleza? Essa questão aqui é sobre taxas de variação e, toda vez que falamos de taxa de variação, falamos de reta e a inclinação da reta.
Para estimarmos as taxas médias pedidas na questão, vamos ter que usar a seguinte equação (onde e a população da europa em porcentagem, o tempo em anos e a taxa de variação):
Nós pegamos a equação da inclinação de uma reta e adptamos às nossas variáveis. Acontece que, quando queremos estimar uma taxa média de alguma coisa, sempre podemos pegar essa equação (lembre-se que a inclinação de uma reta é uma taxa de variação!)
Passo 2
- Para o caso , extraindo os valores da tabela – os pontos e – e jogando na equação:
- Para estimarmos a taxa instantânea de variação no ano , iremos pegar a taxa média entre e e a taxa média entre e , fechou?
- Nessa aqui, a gente precisa de uma reta que seja tangente ao ponto . Dá uma olhada em como ficaria o gráfico dos pontos que a gente tem (vermelho) junto com uma reta tangente no ponto que a gente ta estudando (azul):
Para o caso , de forma semelhante, utilizando os pontos e :
Por fim, para o caso , utilizando os pontos e :
Vale ressaltar aqui que unidade é porque a variável é dado em porcentagem e a variável é dado em anos, tranquilo? Esse item já era, bora para o próximo!
Passo 3
Pegamos essas taxas porque ambas foram calculadas usando um ponto imediatamente antes do ano e um ponto imediatamente depois, logo, essas taxas são as mais indicadas e descartamos a taxa entre e .
Para fazermos a estimativa, basta tirarmos a média das duas taxas que escolhemos! Vai ficar assim olha:
Ah, um lembrete: a unidade continua a mesma, beleza? Bora prosseguir ;)
Passo 4
O negócio da reta tangente é que ela tem uma taxa de variação constante. Se a gente pegar essa reta do gráfico, vamos ver que temos o ponto e outro ponto que seria . Jogando isso na nossa fórmula, teremos:
Esse cara aqui é uma estimativa, beleza? Como o gráfico foi feito no computador, temos mais certea do valor, mas caso o gráfico fosse feito à mão, teríamos um valor com um certo erro, mas como estamos fazendo só uma estimativa, não tem problema!
Resposta