Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 37
Ache as equações das retas tangente e normal à curva no ponto
Passo 1
Bom, como a questão nos pede equações das retas tangente e normal, vamos precisar derivar a nossa curva para encontrarmos as inclinações das retas. Como não podemos separar x de y na equação, vamos derivar implicitamente:
Passo 2
A derivada da direita é óbvia, vamos resolver o lado esquerdo então. Primeiro vamos separar cada termo em uma derivada:
A primeira podemos resolver diretamente:
Na segunda vamos aplicar a Regra da Cadeia, pois y é função de x. Derivamos a função de fora
Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro:
E na terceira vamos aplicar a Regra do Produto:
Ficando o seguinte:
Substituindo os três resultados, obtemos a derivada da equação:
Isolando y’, ficamos com:
Passo 3
Agora basta colocarmos os valores do ponto que foi dado na equação de y’ para obtermos a inclinação da reta tangente:
E então podemos substituir todos os valores que temos na equação da reta:
Vai ficar:
Passo 4
Para calcularmos a inclinação da reta normal, precisamos rotacionar 90 graus a reta tangente, e para isso basta substituirmos y’ na equação:
Substituindo a inclinação T e as coordenadas do ponto na equação da reta normal:
Resposta
Reta tangente:
Reta normal: