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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 33

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

33. t g x + t g y = x y

Passo 1

Como não podemos separar y de x em cada lado, vamos precisar fazer derivação implícita. Primeiro fazemos a derivada de ambos os lados da equação dada:

(d)/(d x) (t g x + t g y) = (d)/(d x) (x y)

Passo 2

Vamos primeiro resolver o lado esquerdo:

(d)/(d x) (t g x + t g y) = (d)/(d x) (t g x) + (d)/(d x) ( t g y )

A primeira derivada que apareceu podemos resolver diretamente:

(d)/(d x) (t g x) = s e c^2 x

Na segunda precisamos aplicar a Regra da Cadeia. Primeiro derivamos a função de fora:

(d)/(d t) (t g t) = s e c^2 t

E substituímos t pela função de dentro, no caso y, para então multiplicarmos tudo pela derivada de y, assim:

y ' s e c^2 y

Passo 3

Agora vamos fazer o lado direito:

(d)/(d x) (x y)

Aplicaremos a Regra do Produto, ficaremos com:

(d)/(d x) (x) y + x (d)/(d x) ( y )

Resolvendo tudo diretamente, isso será:

y + x y '

Passo 4

Agora basta substituirmos os dois resultados no nosso Passo 1:

s e c^2 x + y ' s e c^2 y = y + x y '

Reescrevendo:

- x y^' + y ' s e c^2 y = y - s e c^2 x

y^' (s e c^2 y - x) = y - s e c^2 x

y^' = (d y)/(d x) = (y - s e c^2 x)/(s e c^2 y - x)

Resposta

(d y)/(d x) = (y - s e c^2 x)/(s e c^2 y - x)

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