Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 49
49. Ache equações das retas tangentes à cruva nos pontos onde
Passo 1
Nesta questão o enunciado nos pede para determinarmos as equações das retas tangentes à curva no ponto dado. Para isso, devemos saber que a equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.
Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.
Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens
- Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
- Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
- Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.
Passo 2
Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a ) é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim
Passo 3
Aplicando o valor de x dado na expressão que envolve x e y, para descobrir qual ponto será feita a analise
Como na expressão de a o y e o x estão elevados a 1/3 , basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação acima
Logo, o ponto onde será obtido as equações das retas tangentes será ( -1/8 , )
Passo 4
Aplicando o ponto dado (-1/8,) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto temos
Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma
Passo 4
Substituindo o ponto ((-1/8,) na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b
Assim , a equeção da reta tangente à curva no ponto ((-1/8,) é
Passo 5
Aplicando o ponto dado (-1/8,) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto temos
Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma
Passo 6
Substituindo o ponto ((-1/8,) na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b
Assim , a equeção da reta tangente à curva no ponto ((-1/8,) é