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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 26

Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

f x = sen ⁡ x - x

x ∈ - 3 π 2 , 3 π 2

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x .

f ' x = cos ⁡ x - 1

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Aqui só vamos olhar quando a derivada é 0 .

f ' x = 0 → cos ⁡ x - 1 = 0

cos ⁡ x = 1

Os ângulos no intervalo que tem coseno 1 são

x = 0

x = π

x = - π

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Vamos ter

f ' ' x = - sen ⁡ x

Temos que ver o valor de f ' ' x para x = 0 e x = π e x = - π

Em ambos os casos o valor de f ' ' x vai ser 0 . Então vamos precisar usar o teste da primeira derivada.

Passo 3

Voltando para a nossa primeira derivada

f ' x = cos ⁡ x - 1

Temos que

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Subtraindo 1

- 2 ≤ cos ⁡ x - 1 ≤ 0

Então a nossa derivada vai ser sempre negativa. Dessa forma ela não tem extremos.

Passo 4

Vamos agora para a concavidade

f ' ' x = - sen ⁡ x

Vamos analisar direto os sinais dessa função para achar a concavidade e de quebra os pontos de inflexão.

Naquele intervalo que foi dado no enunciado, temos que

sen ⁡ x > 0 ↔ x ∈ 0 , π   o u   x ∈ - 3 π 2 , - π

sen ⁡ x < 0 ↔ x ∈ - π , 0 o u   x ∈ π , 3 π 2

Assim, vamos ter

f ' ' x = - sen ⁡ x

Vai ser

f ' ' x < 0 ↔ x ∈ 0 , π   o u   x ∈ - 3 π 2 , - π

f ' ' x > 0 ↔ x ∈ - π , 0 o u   x ∈ π , 3 π 2

Assim o ponto de inflexão é:

x = 0

E

x = π

E

x = - π

Além disso, temos

C o n c a v o   p a r a   b a i x o ↔ x ∈ 0 , π   o u   x ∈ - 3 π 2 , - π

C o n c a v o   p a r a   c i m a ↔ x ∈ - π , 0 o u   x ∈ π , 3 π 2

Passo 5

Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:

Ponto de inflexão:

x = 0

x = π

x = - π

Concava para cima:

- π < x < 0   o u   π < x < 3 π 2

Concava para baixo

0 < x < π   o u - 3 π 2 < x < - π

O esboço vai ficar:

Resposta

Ponto de inflexão:

x = 0

x = π

x = - π

Concava para cima:

- π < x < 0   o u   π < x < 3 π 2

Concava para baixo

0 < x < π   o u - 3 π 2 < x < - π

O esboço vai ficar:

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Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = x 4 / 5
Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = x 3 + 5 x - 2
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois. (c) f x = 3 x - x - 1 3 / 2
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois.(b) f x = 2 s e n x - cos ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 2 π
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e uso e teste da derivada segunda (quando possível) para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou em nenhum dos dois. f x = x 2 + 8 x