Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 22
Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.
Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de . Mas antes, vamos abrir a expressão da para facilitar nossas contas.
Derivando, vamos encontrar:
Colocando em evidência
Os pontos crítos são aqueles que a derivada é ou não existe. Como temos um expoente negativo, a nossa derivada não vai existir em , isso porque
Agora vamos ver quando a derivada é .
Fazendo:
Fazendo Bhaskaras, vamos encontrar:
Então os pontos críticos são
Passo 2
Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos
Se ou não existir, não funciona o teste.
Partindo de
Vamos ter
Colocando em evidência, vamos ter
Temos que ver o valor de para , e
Primeiro :
Aqui o teste da segunda derivada não funciona.
Passo 3
Agora :
Logo é ponto de máximo relativo.
Passo 4
Por fim
Agora :
Logo é ponto de mínimo relativo.
Passo 5
Temos que aplicar o teste da primeira derivada para . Vamos olhar a derivada
Em torno de , aquela expressão no parênteses fica . Então tudo depende do . Que vai ser positivo quando for positivo. E Negativo quando for negativo.
Então, vamos ter
Isso nos diz que é um ponto de mínimo.
Passo 6
Vamos agora para a concavidade
Como aquele fora do parênteses está elevado a no numerador, ele vai ser sempre positivo. O sinal vai depender de
Isso é uam função de grau. Com . Então ela vai ser negativa entre as raízes e positiva fora delas.
Para isso, vamos fazer:
Aplicando Bhaskaras
Então
Assim o ponto de inflexão é:
E
Com
Passo 7
Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Ponto de inflexão:
Concava para cima:
Concava para baixo
O esboço vai ficar:
Resposta
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Ponto de inflexão:
Concava para cima:
Concava para baixo
O esboço vai ficar:
