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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 25

Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

f x = x + cos ⁡ x

x ∈ - 2 π , 2 π

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x .

f ' x = - sen ⁡ x + 1

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Aqui só vamos olhar quando a derivada é 0 .

f ' x = 0 → - sen ⁡ x + 1 = 0

sen ⁡ x = 1

Os ângulos no intervalo que tem seno 1 são:

x = π 2

x = 3 π 2

x = - π 2

x = - 3 π 2

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos:

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Vamos ter:

f ' ' x = - cos ⁡ x

Temos que ver o valor de f ' ' x para todos os pontos críticos

Em todos eles o valor de f ' ' x vai ser 0 . Então vamos precisar usar o teste da primeira derivada.

Passo 3

Voltando para a nossa primeira derivada

f ' x = - sen ⁡ x + 1

Temos que

- 1 ≤ - sen ⁡ x ≤ 1

Somando 1

0 ≤ - sen ⁡ x + 1 ≤ 2

Então a nossa derivada vai ser sempre positiva. Dessa forma ela não tem extremos.

Passo 4

Vamos agora para a concavidade

f ' ' x = - cos ⁡ x

Vamos analisar direto os sinais dessa função para achar a concavidade e de quebra os pontos de inflexão.

Naquele intervalo que foi dado no enunciado, temos que

cos ⁡ x > 0 ↔ x ∈ - 2 π , - 3 π 2   o u   x ∈ - π 2 , π 2   o u   x ∈ 3 π 2 , 2 π

sen ⁡ x < 0 ↔ x ∈ - 3 π 2 , - π 2 o u   x ∈ π 2 , 3 π 2

Assim, vamos ter

f ' ' x = - cos ⁡ x

Vai ser

f ' ' x < 0 ↔ x ∈ - 2 π , - 3 π 2   o u   x ∈ - π 2 , π 2   o u   x ∈ 3 π 2 , 2 π

f ' ' x > 0 ↔ x ∈ - 3 π 2 , - π 2 o u   x ∈ π 2 , 3 π 2

Assim o ponto de inflexão é:

x = π 2

x = 3 π 2

x = - π 2

x = - 3 π 2

Além disso, temos

C o n c a v o   p a r a   b a i x o ↔ x ∈ - 2 π , - 3 π 2   o u   x ∈ - π 2 , π 2   o u   x ∈ 3 π 2 , 2 π

C o n c a v o   p a r a   c i m a ↔ x ∈ - 3 π 2 , - π 2 o u   x ∈ π 2 , 3 π 2

Passo 5

Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:

Ponto de inflexão:

x = 0

x = π

Concava para cima:

x ∈ - 3 π 2 , - π 2 o u   x ∈ π 2 , 3 π 2

Concava para baixo

x ∈ - 2 π , - 3 π 2   o u   x ∈ - π 2 , π 2   o u   x ∈ 3 π 2 , 2 π

O esboço vai ficar:

Resposta

Ponto de inflexão:

x = 0

x = π

Concava para cima:

x ∈ - 3 π 2 , - π 2 o u   x ∈ π 2 , 3 π 2

Concava para baixo

x ∈ - 2 π , - 3 π 2   o u   x ∈ - π 2 , π 2   o u   x ∈ 3 π 2 , 2 π

O esboço vai ficar:

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Encontre os extremos relativos no intervalo 0x2 π e confirme se seus resultados estão de acordo com o gráfico gerado por um recurso computacional. f x = 3 x + 2 sen ⁡ x
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