Encontre o ponto do primeiro quadrante que pertença à curva tal que um retângulo com lados nos eixos coordenados e um vértice em tenha o menor perímetro possível.

Temos que o perímetro é a soma dos lados do retângulo, que podemos chamar de , a base, e , a altura. Assim, escrevemos a equação pro perímetro :

Nisso, precisamos escrever o perímetro desse retângulo em função apenas de uma variável. No caso, vamos buscar escrever apenas em função de , pra termos uma .

Como correlacionamos e então? Bom, eles já estão correlacionados, pela própria equação da curva!

Temos que:

Assim, substituímos essa expressão de na equação do perímetro e vamos obter . Teremos:

Agora temos uma função que descreve nosso perímetro.

Queremos o ponto de mínimo, que vai nos dar o menor perímetro. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar , derivar e igualar a zero! Os valores de que acharmos atribuídos a essa derivada nula vão ser os pontos de máximo e mínimo.

Nisso, cabe a nós distinguir qual é qual, aplicando esses valores na função original e verificando qual nos dá o menor valor. Vai ser esse o nosso ponto de mínimo!

Derivando, temos:

Igualamos isso a zero:

Assim, esse é nosso ponto de derivada nula da função, que é o nosso ponto de mínimo. Assim, esse seria o tamanho da base do retângulo de menor perímetro que atende às condições pedidas. Então, equivale à coordenada do ponto !

Ainda precisamos de . Conseguimos obtê-lo pela equação da curva. Teremos:

Assim, essa é a coordenada do ponto , que é o ponto vértice do retângulo de menor perímetro cujos lados pertencem aos eixos coordenados, sob a curva .