Uma área retangular com deve ser cercada. Em dois lados opostos, será usada uma cerca que custa o metro, e nos lados restantes uma cerca que custa o metro. Encontre as dimensões do retângulo com o menor custo.

Precisamos escrever o custo como uma função apenas de uma variável. No caso, vamos escrever em função apenas de .

Pra isso, usamos a equação que descreve a área do retângulo, isolando , da seguinte forma:

Agora substituímos isso na expressão de e vamos obter . Teremos:

Agora temos uma função que descreve o custo para a construção da cerca.

Queremos o ponto de mínimo, que vai nos dar o menor custo. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar , derivar e igualar a zero! Os valores de que acharmos atribuídos a essa derivada nula vão ser os pontos de máximo e mínimo.

Nisso, cabe a nós distinguir qual é qual, aplicando esses valores na função original e verificando qual nos dá o menor valor. Vai ser esse o nosso ponto de mínimo, que vai dar o custo mínimo!

Derivando, temos:

Igualamos isso a zero:

Dentre e , o ponto de mínimo pra é , já que nos daria um custo negativo (e também um comprimento negativo) na função , que não faz sentido no nosso contexto.

Logo, vai ser o comprimento do lado que vale da cerca. Determinamos o lado facilmente pela expressão que temos: