Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 11

Uma área retangular com deve ser cercada. Em dois lados opostos, será usada uma cerca que custa o metro, e nos lados restantes uma cerca que custa o metro. Encontre as dimensões do retângulo com o menor custo.

Passo 1

Nosso objetivo vai ser encontrar uma expressão que sirva como função para o custo de construção da cerca retangular.

Sabemos que a área de um retângulo de lados e tem a seguinte equação:

E temos, nesse caso, considerando o perímetro do retângulo sendo (duas vezes cada lado, somados) que o custo vai equivaler a:

Aqui considerando como o lado cuja cerca custa e o lado cuja cerca custa .

Passo 2

Precisamos escrever o custo como uma função apenas de uma variável. No caso, vamos escrever em função apenas de .

Pra isso, usamos a equação que descreve a área do retângulo, isolando , da seguinte forma:

Agora substituímos isso na expressão de e vamos obter . Teremos:

Passo 3

Agora temos uma função que descreve o custo para a construção da cerca.

Queremos o ponto de mínimo, que vai nos dar o menor custo. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar , derivar e igualar a zero! Os valores de que acharmos atribuídos a essa derivada nula vão ser os pontos de máximo e mínimo.

Nisso, cabe a nós distinguir qual é qual, aplicando esses valores na função original e verificando qual nos dá o menor valor. Vai ser esse o nosso ponto de mínimo, que vai dar o custo mínimo!

Passo 4

Derivando, temos:

Igualamos isso a zero:

Dentre e , o ponto de mínimo pra é , já que nos daria um custo negativo (e também um comprimento negativo) na função , que não faz sentido no nosso contexto.