Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um córrego reto no quarto lado. Encontre as dimensões do campo com área máxima que pode ser cercado com 1000 m de cerca.

Como um retângulo tem 2 pares de lados, iguais entre si, vamos chamá-los de (lado menor) e (lado maior).

Como um dos lados do retângulo não será cercado, por ali passar um córrego, o total de cerca que nós precisamos, escrito em função de e vai ser:

Você já sabe que a área do retângulo é lado vezes lado. Escrevendo isso em função de e temos a área :

Por fim, vamos escrever a área como uma função apenas de , isolando na primeira equação. Teremos:

Substituindo isso na equação da área:

Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, é descrita por uma parábola com concavidade voltada pra baixo. Logo, tem um ponto de máximo!

É esse ponto de máximo da área, desescrita em função de um de seus lados (lado ), que a gente precisa determinar. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar , derivar e igualar a zero! O valor de que acharmos atribuído a essa derivada nula vai ser o ponto em que a função assume o valor máximo. Em outras palavras, vamos achar o valor de , um dos lados do retângulo, que nos dá a maior área possível!

Derivando, temos:

Igualamos isso a zero:

Então, esse é o valor de , lado menor do retângulo que se quer cercar, que vai possibilitar a maior área possível.

Temos , mas ainda precisamos de . Calculamos facilmente pela primeira equação!