Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 37
Faça um esboço do gráfico de uma função que passa pelos pontos , , , se as condições dadas forem satisfeitas. Trace também um segmento da reta tangente em cada um desses pontos, se houver uma reta tangente.
Suponha que e que seja contínua em algum intervalo contendo, e .
Passo 1
Vamos com bastaaaante calma aqui nessa questão.
Muita informação que temos que entender. Aqui temos que analisar extremos relativos e pontos de inflexão.
Vamos começar olhando as primeiras derivadas em cada um dos pontos, para identificar os pontos críticos.
Aqui temos
Os pontos críticos, porque neles a derivada é
Aquele limite da com indo para não vai existir, porque ele é infinito. Aqui, repare que o é o ponto onde a segunda deriada muda de sinal, então ele é ponto de inflexão.
Esse serve para mostrar só que a reta tangente nesse ponto é vertical.
Passo 2
Agora, vamos classificar esses pontos
Para isso vamos olhar a segunda derivada em cada um deles, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos
Se ou não existir, não funciona o test
Como
Temos:
Logo é um ponto de mínimo relativo
Como
Temos:
Logo é um ponto de máximo relativo
Passo 3
Vamos olhar agora o ponto de inflexão. Que é o ponto onde a segunda derivada muda de sinal.
Isso vai acontecer exatamente em
Então esse é o nosso ponto de inflexão.
Passo 4
Para esboçarmos o gráfico, devemos colocar todas essas informações em uma tabela para nos organizarmos
Não podemos esquercer da derivada de , onde a reta tangente é vertical
O esboço vai ficar:
Resposta
