Um campo deve ter o formato de um triângulo retângulo, com a hipotenusa ao longo de um rio reto e uma cerca delimitando os dois catetos do campo. Encontre as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com 1000 m lineares de cerca.

Uma figura ajuda a visualizar a nossa situação:

Só vamos cercar os catetos, ou seja, os lados e . Temos então que a soma das dimensões de e deve equivaler a 1000 metros. Escrevemos:

Você sabe que a área do triângulo retângulo se dá pela metade do produto dos catetos. Escrevemos:

Agora, pra facilitar nosso trabalho, escreveremos a área apenas como uma função de , o cateto maior. Pra isso, isolamos na primeira equação, e escrevemos:

Teremos pra :

Agora temos uma função que descreve a nossa área. Por nossos conhecimentos de funções, é descrita por uma parábola com concavidade voltada pra baixo. Logo, tem um ponto de máximo!

É esse ponto de máximo da área, desescrita em função de um de seus lados (lado ), que a gente precisa determinar. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar , derivar e igualar a zero! O valor de que acharmos atribuído a essa derivada nula vai ser o ponto em que a função assume o valor máximo. Em outras palavras, vamos achar o valor de , um dos lados do retângulo, que nos dá a maior área possível!

Derivando, temos:

Igualamos isso a zero:

Então, esse é o valor de , lado maior do triângulo retângulo que se quer cercar, que vai possibilitar a maior área possível.

Temos , mas ainda precisamos de . Calculamos facilmente pela primeira equação!