O princípio de Fermat (Exercício 64) também explica por que um raio de luz que passa entre ar e água se inclina (refração). Imagine dois meios uniformes (como água e ar) e um raio de luz viajando de uma fonte em um meio para um observador em outro meio (Figura Ex-65). Sabe-se que a luz viaja a uma velocidade constante em um meio uniforme, porém mais vagarosamente em um meio mais denso (como a água) do que em um menos denso (como o ar). Consequentemente, o percurso de menor tempo entre e não é necessariamente uma reta, mas uma reta quebrada de para e para , permitindo que a luz leve vantagem de sua maior velocidade no meio menos denso. A Lei de Refração de Snell (biografia na página 288) afirma que a trajetória do raio de luz é tal que:

Onde é a velocidade da luz no primeiro meio, , no segundo e são os ângulos mostrados na Figura Ex-65. Mostre que isso segue da hipótese de que o caminho de tempo mínimo ocorre quando .

Olhando para o triângulo retângulo da esquerda na figura do enunciado, temos o seguinte:

Agora olhando para o triângulo retângulo da direita, teremos:

Logo, nossa expressão será:

E essa é a nossa expressão para o tempo gasto no percurso. Como o mínimo ocorre quando , então:

Igualando a zero:

Show!

Então galera, no passo anterior chegamos em uma igualdade muito interessante! Se observarmos bem, o lado esquerdo da equação é o seguinte:

Já o lado direito da equação é o seguinte:

Se substituirmos esses resultados, teremos:

Como queríamos demonstrar!

E essa é a nossa prova, galera! 😉