Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f(x) = tan(2x); [-π/4, π/6]

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado.

A derivada da tangente é secante ao quadrado, de modo que

f ' x = 2 sec 2 ⁡ 2 x > 0

Assim, f é estritamente crescente em todo o intervalo. Além disso, quando x → - π 4 + temos que

lim x → - π 4 + ⁡ f ( x ) = lim θ → - π 2 + ⁡ tan ⁡ θ = - ∞

Assim, f não tem mínimo nesse intervalo.

Passo 2

A seguir damos um esboço do gráfico de f nesse intervalo:

Já vimos que a função não tem mínimo no intervalo. Por outro lado, como o intervalo é limitado superiormente por x = π / 6 com bolinha fechada, temos o máximo absoluto nesse ponto com f π 6 = 3 .

Resposta

Máximo absoluto: f π / 6 = 3 .

Mínimo absoluto: não tem.

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