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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 45

Calcule ∫ d x x - x por dois métodos: (a) tomando x = z 2 ; (b) escrevendo x - x = x x - 1 e tomando u = x - 1 .

Passo 1

A questão pede para calcularmos uma integral com duas substituições diferentes. A primeira é tradicional quando temos integrais de potências fracionárias, enquanto a segunda envolve uma “sacadinha” inicial que é a fatoração x - x = x x - 1 .

Fazendo x = z 2 , temos que d x = 2 z   d z e x = z . Assim,

I = ∫ 1 x - x   d x = ∫ 1 z 2 - z ⋅ 2 z   d z = ∫ 2 z - 1   d z

Fazendo a integral:

I = 2 ln ⁡ | z - 1 | + C

Voltando a variável original, temos que z = x . Assim,

I = 2 ln ⁡ x - 1 + C

Passo 2

No item (b) devemos reescrever a integral como

I = ∫ 1 x - x   d x = ∫ 1 x   x - 1   d x

Fazendo u = x - 1 , temos que

d u = 1 2 x d x ⇒ d x x = 2   d u

Portanto,

I = ∫ 2 u   d u = 2 ln ⁡ | u | + C

Como u = x - 1 :

I = 2 ln ⁡ x - 1 + C

Note que essa integral pode ser resolvida de forma relativamente simples pelas duas formas.

Resposta

2 ln ⁡ x - 1 + C

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