Calcule a integral definida.

∫ 0 1 x 1 + x 3   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Na seção do livro é ensinada uma substituição que resolve essa integral: quando o integrando envolver potências fracionárias de x (que é o caso), faça a substituição x = z n , onde n é o denominador comum entre os denominadores dos expoentes.

No caso, expoentes são 1 / 2 e 1 / 3 , de modo que o mmc entre 2 e 3 fornece n = 6 . Portanto vamos usar a substituição x = z 6 . Assim, x = z 3 e x 3 = z 2 . Além disso, d x = 6 z 5 d z . Desta forma, a integral fica

I = ∫ 0 1 x 1 + x 3   d x = ∫ 0 1 z 3 1 + z 2   6 z 5   d z = 6 ∫ 0 1 z 8 1 + z 2   d z

Passo 2

Agora, como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, precisamos dividir os polinômios. Fazendo a divisão pelo método de chaves, obtemos

z 8 = z 6 - z 4 + z 2 - 1 ⋅ 1 + z 2 + 1

Assim,

z 8 1 + z 2 = z 6 - z 4 + z 2 - 1 + 1 1 + z 2

Portanto,

I = 6 ∫ 0 1 z 6 - z 4 + z 2 - 1 + 1 1 + z 2 d z

Passo 3

Assim, efetuando a integral:

I = 6   z 7 7 - z 5 5 + z 3 3 - z + arctan ⁡ z 0 1 = 6   1 7 - 1 5 + 1 3 - 1 + arctan ⁡ 1

Portanto,

I = 6   - 76 105 + π 4 = 3 π 2 - 152 35

Resposta

3 π 2 - 152 35

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