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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 43

Calcule a integral definida.

int_0^1 (sqrt(x))/(1 + root(3)(x)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Na seção do livro é ensinada uma substituição que resolve essa integral: quando o integrando envolver potências fracionárias de x (que é o caso), faça a substituição x = z^n , onde n é o denominador comum entre os denominadores dos expoentes.

No caso, expoentes são 1 // 2 e 1 // 3 , de modo que o mmc entre 2 e 3 fornece n = 6 . Portanto vamos usar a substituição x = z^6 . Assim, sqrt(x) = z^3 e root(3)(x) = z^2 . Além disso, d x = 6 z^5 d z . Desta forma, a integral fica

I = int_0^1 (sqrt(x))/(1 + root(3)(x)) d x = int_0^1 (z^3)/(1 + z^2) 6 z^5 d z = 6 int_0^1 (z^8)/(1 + z^2) d z

Passo 2

Agora, como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, precisamos dividir os polinômios. Fazendo a divisão pelo método de chaves, obtemos

z^8 = (z^6 - z^4 + z^2 - 1) * (1 + z^2) + 1

Assim,

(z^8)/(1 + z^2) = z^6 - z^4 + z^2 - 1 + (1)/(1 + z^2)

Portanto,

I = 6 int_0^1 (z^6 - z^4 + z^2 - 1 + (1)/(1 + z^2)) d z

Passo 3

Assim, efetuando a integral:

I = 6 ((z^7)/(7) - (z^5)/(5) + (z^3)/(3) - z + arctan z)_0^1 = 6 ((1)/(7) - (1)/(5) + (1)/(3) - 1 + arctan 1)

Portanto,

I = 6 (- (76)/(105) + (pi)/(4)) = (3 pi)/(2) - (152)/(35)

Resposta

(3 pi)/(2) - (152)/(35)

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