Ache os números críticos da função dada.

g(x) = sec^2(3x)

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que g ' x = 0 ou que g ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

Lembrando que a secante é 1 sobre cosseno, temos que g não está definida para cos ⁡ 3 x = 0 . Lembrando que a derivada da secante é secante vezes tangente, temos que

g ' x = 2 sec ⁡ 3 x ⋅ sec ⁡ 3 x ' = 6 sec 2 ⁡ 3 x tan ⁡ 3 x

Assim, como tangente é seno sobre cosseno:

g ' x = 6   s e n   3 x cos 3 ⁡ 3 x

Os pontos em que g não é derivável são os mesmos em que g não está definida ( cos ⁡ 3 x = 0 ), de modo que eles não podem ser considerados pontos críticos. Resta apenas verificar os números que anulam as derivadas.

Passo 2

Agora, fazendo g ' x = 0 obtemos

s e n   3 x = 0

Assim,

3 x = 0 + n π ,       n ∈ Z

Portanto, os números críticos de g serão

x = n π 3 ,       n ∈ Z

Resposta

x = n π 3 ,       n ∈ Z

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