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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.4 - Ex. 6

Ache a integral indefinida geral.

∫ x 3 + x 2 3 d x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ x 3 + x 2 3 d x

Para isso, devemos saber que:

∫ f ( x ) + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

Ou seja, a integral de uma soma é a soma das integrais!

Só mais uma coisinha, podemos escrever a raiz como:

x = x 1 2

E é por isso que usaremos a seguinte primitiva:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C         n ≠ - 1

Agora sim, bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiramente, vamos manipular algebricamente a função:

∫ x 3 + x 2 3 d x = ∫ x 3 2 + x 2 3   d x

Agora vamos separar em duas integrais, e repare que cada integral tem seu próprio d x , essa é uma notação importante!

∫ x 3 + x 2 3 d x = ∫ x 3 2   d x + ∫ x 2 3   d x

Pelo que vimos no Passo 1, podemos resolver a integral da seguinte forma:

∫ x 3 + x 2 3 d x = x 3 2 + 1 3 2 + 1 + x 2 3 + 1 2 3 + 1 + C

Lembra que quando integramos, pode sempre ter uma constante ali escondida? A integral é tipo o inverso da derivada, e a derivada de qualquer constante é zero. Então, é por isso que a gente coloca essa constante, não dá pra esquecer dela!

Simplificando:

∫ x 3 + x 2 3 d x = 2 x 5 2 5 + 3 x 5 3 5 + C

Aqui só isolamos o 1 5 :

∫ x 3 + x 2 3 d x = 1 5 2 x 5 2 + 3 x 5 3 + C

Resposta

∫ x 3 + x 2 3 d x = 1 5 2 x 5 2 + 3 x 5 3 + C

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