Ache a integral indefinida geral. Ilustre fazendo o gráfico de vários membros da família na mesma tela.

∫ e x - 2 x 2 d x

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos que resolver a seguinte integral:

∫ e x - 2 x 2 d x

Para isso, vamos usar a propriedade de que a integra da soma/subtração é a soma/subtração de integrais:

∫ f x ± g x d x = ∫ f x d x ± ∫ g x d x

E também vamos usar a propriedade de que uma constante pode sair da integral:

∫ C f x d x = C ∫ f x d x

E para resolver cada integral vamos usar a ideia de antiderivada.

Aqui temos a potência de x , e a regra da antiderivada para a potência de x é:

x n = x n + 1 n + 1 '

E também temos a função exponencial. A antiderivada da exponencial é ela própria:

e x = e x '

E por se tratar de uma integral indefinida, temos que somar a constante C no final!

O enunciado também pede para que a gente plote numa mesma janela diversas funções dessa família de função, isso é, plotar o resultado para valores de C diferentes.

Passo 2

Primeiro abrimos a integral em duas integrais:

∫ e x - 2 x 2 d x = ∫ e x d x - ∫ 2 x 2 d x

Tiramos a constante da segunda integral:

= ∫ e x d x - 2 ∫ x 2 d x

Resolvemos cada integral, usando a ideia de antiderivação e somamos a constante C :

:

∫ e x d x - 2 ∫ x 2 d x = e x - 2 x 2 + 1 2 + 1 + C

= e x - 2 x 3 3 + C

Passo 3

Logo, podemos plotar os gráficos de alguns exemplos, escolhendo arbitrariamente valores para C :

Resposta

∫ e x - 2 x 2 d x = e x - 2 x 3 3 + C

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