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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 34

34. int ( 3 c s c^2 t - 5 s e c t . tan t ) d t

Passo 1

Para resolver esse exercício temos que fazer com que nossa integral fique como uma imediata.

Nesse caso começaremos utilizando a seguinte propriedade de integrais: a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = int [ ( 3 c s c^2 t ) d t ] - [ int ( 5 sec t . tan t ) d t ]

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int a f ( u ) d x = a int (f ( u )) d x . Podendo f(u) ser uma função polinomial ou trigonométrica

(para nosso caso, f(u) é trigonométrica)

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = 3 int ( csc^2 t ) d t - 5 int (sec t . tan t) d t

Agora chegamos a soma de duas integrais imediatas.

Resposta

Chegamos então ao resultado da integral:

I = - 3 cot t - 5 sec t + c

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