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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 33

33. int ( 4 csc x . cot x + 2 s e c^2 x ) d x

Passo 1

Para resolver esse exercício temos que fazer com que nossa integral fique como uma imediata.

Nesse caso começaremos utilizando a seguinte propriedade de integrais: a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = int [ ( 4 csc x . cot x ) d x ] + [ int ( 2 s e c^2 x ) d x ]

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: int a f ( u ) d x = a int (f ( u )) d x . Podendo f(u) ser uma função polinomial ou trigonométrica

(para nosso caso, f(u) é trigonométrica)

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = 4 int ( csc x . cot x ) d x + 2 int (s e c^2 x) d x

Agora chegamos a soma de duas integrais imediatas.

Resposta

Chegamos a resposta final:

I = - 4 csc x + 2 tan x + c

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