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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 41

Nos exercícios de 31 a 42, ache f^' (a) para o valor de f ' ( a )

41 . f (x) = 2 c o t g (x) - c o s e c (x) a = (2 pi)/(3)

Passo 1

Nós queremos a derivada da função, que será:

f^' (x) = (2 c o t g x)^' - ( c o s e c x ) '

Para simplificar nossa resolução iremos separar a função em dois termos

1 º t e r m o - 2 c o t g (x)

2 º t e r m o - c o s e c (x)

Usaremos a regra do produto para derivar o 1º termo

Regra do produto:

(f (x) * g (x)) ' = (f (x))^' * g (x) + (g (x))^' * f (x)

Já o 2º termo não tem muito mistério, é só derivar normalmente

Passo 2

1º - Derivada de 2 c o t g x

(2 c o t g x)^' = (2)^' * c o t g x + (c o t g x)^' * 2

= 0 * c o t g x + ( - c o s e c^2 x ) * 2

= - 2 c o s e c^2 x

Passo 3

2º - Derivada de c o s e c x

(c o s e c x)^(' ) = - c o s e c x c o t g x

Passo 4

Vamos agora substituir o x pelo valor de a:

c o s e c x = c o s e c ((2 pi)/(3)) = (1)/(s e n ((2 pi)/(3))) = (1)/((sqrt(3))/(2)) = (2)/(sqrt(3))

c o t g x = c o t g ((2 pi)/(3)) = (1)/(t g ((2 pi)/(3))) = - (1)/(sqrt(3))

Passo 5

Por fim, substituímos os valores na nossa derivada e acharemos o valor final da derivada.

f^' (x) = - 2 c o s e c^2 x - ( - c o s e c x c o t g x )

= - 2 c o s e c^2 x + c o s e c x c o t g x

= - 2 ((2)/(sqrt(3)))^2 + ((2)/(sqrt(3))) (- (1)/(sqrt(3)))

= - 2 * (4)/(3) - (2)/(3) = - (10)/(3)

Resposta

f^' (x) = - (10)/(3)

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