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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9b

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(cos x)/(x^2 + 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = cos x

e

g (x) = x^2 + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((cos x)/(x^2 + 1))^' = ((cos x)^' * (x^2 + 1) - (cos x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

(cos (x))^' = - sen (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra da função trigonométrica:

h ' ( x ) = (cos x)^' = - sen x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra do polinômio e da função constante:

g ' ( x ) = (x^2 + 1)^' = 2 x^(2 - 1) + 0 = 2 x^1 = 2 x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((cos x)^' * (x^2 + 1) - (cos x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2) = (- sen x * (x^2 + 1) - (cos x) * 2 x)/((x^2 + 1)^2) = (- sen x (x^2 + 1) - 2 x (cos x))/((x^2 + 1)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (- sen x (x^2 + 1) - 2 x (cos x))/((x^2 + 1)^2)

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1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.(b) f x = 1 x - a,a ∈ R - - 2,4 ; x = - 2,x = 4 .
Dado que f - 2 = 3 e f ' - 2 = - 4 , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto x = - 2 .
Dado que a reta tangente a y = f x no ponto 1,2 passa pelo ponto - 1 , - 1 , encontre f ' 1 .
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = - 1 , f ' 0 = 0 , f ' x0 se x0 e f ' x0 se x0 .
Use a Fórmula 12 para encontrar d y d x . y = 1 x