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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9b

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(cos x)/(x^2 + 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = cos x

e

g (x) = x^2 + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((cos x)/(x^2 + 1))^' = ((cos x)^' * (x^2 + 1) - (cos x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

(cos (x))^' = - sen (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra da função trigonométrica:

h ' ( x ) = (cos x)^' = - sen x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra do polinômio e da função constante:

g ' ( x ) = (x^2 + 1)^' = 2 x^(2 - 1) + 0 = 2 x^1 = 2 x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((cos x)^' * (x^2 + 1) - (cos x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2) = (- sen x * (x^2 + 1) - (cos x) * 2 x)/((x^2 + 1)^2) = (- sen x (x^2 + 1) - 2 x (cos x))/((x^2 + 1)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (- sen x (x^2 + 1) - 2 x (cos x))/((x^2 + 1)^2)

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Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = - 1 , f ' 0 = 0 , f ' x0 se x0 e f ' x0 se x0 .
Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .y = (1)/(x)
Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, arranje os números 0 , f ' - 3 , f ' 0 , f ' 2 e f ' 4 em ordem crescente.
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 2 x 2 ; a = 1
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = x 3 ; a = 0