Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

cos(x) / (x^2 + 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = cos x

e

g (x) = x^2 + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((cos x)/(x^2 + 1))^' = ((cos x)^' * (x^2 + 1) - (cos x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

(cos (x))^' = - sen (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra da função trigonométrica:

h ' ( x ) = (cos x)^' = - sen x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra do polinômio e da função constante:

g ' ( x ) = (x^2 + 1)^' = 2 x^(2 - 1) + 0 = 2 x^1 = 2 x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((cos x)^' * (x^2 + 1) - (cos x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2) = (- sen x * (x^2 + 1) - (cos x) * 2 x)/((x^2 + 1)^2) = (- sen x (x^2 + 1) - 2 x (cos x))/((x^2 + 1)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (- sen x (x^2 + 1) - 2 x (cos x))/((x^2 + 1)^2)

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